第四章第3节多维随机变量的数学期望与协方差

§4.1随机变量的数学期望与方差§4.2常见随机变量的期望与方差§4.3协方差、相关系数与矩第四章随机变量的数字特征4.3.1多维随机变量函数的数学期望定理4.3.1设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则E(Z)=E[g(X,Y)]=(,)(,)(,)ddijijijgxypgxypxyxy§4.3协方差、相关系数与矩课堂练习在长为a的线段上任取两点X与Y，求两点间的平均长度.求E(|XY|)4.3.2数学期望与方差的运算性质1.E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y),(性质3.4.1)(性质3.4.2)讨论X+Y的方差1.Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E[XE(X)][YE(Y)]3.当X与Y独立时，E[XE(X)][YE(Y)]=0.4.当X与Y独立时，Var(XY)=Var(X)+Var(Y).2.E[XE(X)][YE(Y)]=E(XY)E(X)E(Y)注意：以上命题反之不成立.4.3.3协方差定义4.3.1称Cov(X,Y)=E[XE(X)][YE(Y)]为X与Y的协方差.协方差的性质(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(性质3.4.7)(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).(性质3.4.4)(2)若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.(性质3.4.5)(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(性质3.4.9)(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)(性质3.4.6)(5)Cov(X,a)=0.(性质3.4.8)(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(性质3.4.10)课堂练习1X与Y独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，则Var(2XY)=().27课堂练习2X~P(2)，Y~N(2,4)，X与Y独立，则E(XY)=();E(XY)2=().422解：记“Xi=1”=“第i个人拿对自己的礼物”“Xi=0”=“第i个人未拿对自己的礼物”配对模型的数学期望和方差1,niiXXn个人、n件礼物，任意取.X为拿对自已礼物的人数，求E(X),Var(X)则因为E(Xi)=1/n,所以E(X)=1.又因为1Var()Var(,)2Cov(,)niiijijXXXX所以E(XiXj)=1/[n(n1)],XiXjP0111/[n(n1)]1/[n(n1)]由此得2Cov(11,)(1)ijXXnnn21(1)nn又因为2222Var((111))[()]iiiXEXnEXnnn所以先计算E(XiXj),XiXj的分布列为122Var()Var()2Cov(,)112(1)niiijijijXXXXnnnnn21122(1)nnnnn111nnn所以4.3.4相关系数定义4.3.2称Corr(X,Y)=为X与Y的相关系数.Cov(,)Var()Var()XYXY若记注意点**,()()Var()Var()XYXEXYEYXY则**Corr(,)Cov(,)XYXY相关系数的性质(1)(1)施瓦茨不等式{Cov(X,Y)}2Var(X)Var(Y).相关系数的性质(2)(2)1Corr(X,Y)1.(3)Corr(X,Y)=1X与Y几乎处处有线性关系。(性质3.4.11)(性质3.4.12)P(Y=aX+b)=1Corr(X,Y)的大小反映了X与Y之间的线性关系：注意点Corr(X,Y)接近于1，X与Y间正相关.Corr(X,Y)接近于1，X与Y间负相关.Corr(X,Y)接近于0，X与Y间不相关.没有线性关系例4.3.1设(X,Y)的联合分布列为X101Y1011/81/81/81/801/81/81/81/8求X,Y的相关系数.解:()iijijEXxp()ijijijEXYxyp=0同理22()iijijEXxp=3/4E(Y)=E(X)=0另一方面=1/81/81/8+1/8=0所以Cov(X,Y)即Corr(X,Y)=0E(Y2)=E(X2)=3/4=E(XY)E(X)E(Y)=0例4.3.2(X,Y)~p(x,y)=1(),02,0280xyxy其它求X,Y的相关系数解:()()EXEY22001()dd8xxyxy=7/6222001()dd8xxyxy=5/322()()EXEY所以,Var(X)=Var(Y)=11/36()EXY22001()dd8xyxyxy=4/34/37/67/6Corr(,)11/36XY111二维正态分布的特征数122212(,)~(,,,),XYN(1)X~N(1,12),Y~N(2,22);(3)X,Y独立=0.(2)参数为X和Y的相关系数;(4)不相关与独立等价.4.3.5随机向量的数学期望与协方差阵定义4.3.3记称12(,,,)'nXXXX，则12()((),(),,())'nEXEXEXEX1121212212Var()Cov(,)Cov(,)Cov(,)Var()Cov(,)Cov(,)Cov(,)Var()nnnnnXXXXXXXXXXXXXXX为X的协方差阵，记为Cov(),X或定理4.3.2协方差阵对称、非负定.协方差阵的性质称注意点111212122212.....................nnnnnnR为X的相关矩阵.课堂练习1设X~N(0,1),Y~N(0,1),Var(XY)=0,求(X,Y)的协差阵.1111课堂练习2设X,Y的协差阵为11/31/31R94,416求相关阵R.