第四章第8讲正弦定理和余弦定理应用举例汇总

第8讲正弦定理和余弦定理应用举例1．应用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型主要有测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．图①图②(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1．阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．2．根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．3．根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．4．将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．1．(必修5P19A组T7改编)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A．11.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km解析：选B.∵AB＝1000×1000×160＝500003m，∴BC＝ABsin45°·sin30°＝5000032m.∴航线离山顶h＝5000032×sin75°≈11.4km.∴山高为18－11.4＝6.6km.2．(必修5P13练习T1改编)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距82nmile.此船的航速是________nmile/h.解析：设航速为vnmile/h，在△ABS中AB＝12v，BS＝82，∠BSA＝45°，由正弦定理得82sin30°＝12vsin45°，则v＝32.答案：323．(必修5P11例2改编)如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解：在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A，B之间的距离为5km.测量距离在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间(注：6≈2.449)．[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝103t(海里)，BD＝10t(海里)，在△ABC中，∵AB＝(3－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，BC＝3－12＋22－2×2×3－1cos120°＝6(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝ACsin120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．求距离问题的注意事项：①选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．1．已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10kmB．103kmC．105kmD．107km解析：选D.由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos120°＝102＋202－2×10×20×－12＝700.∴AC＝107(km)，故选D.2．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为________．解析：由正弦定理得AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．答案：502m3.A市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度．解：在△ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5.①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7.②由∠C＝∠D得cosC＝cosD，解得AB＝7，所以AB的长度为7米．测量高度(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.[解析]根据图示，AC＝1002m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin45°＝AMsin60°⇒AM＝1003m.在△AMN中，MNAM＝sin60°，∴MN＝1003×32＝150(m)．[答案]150求解高度问题的注意事项：①在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；②准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．1．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．答案：10062．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为________m.解析：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.答案：403.如图，一栋建筑物AB的高为(30－103)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，求通信塔CD的高．解：如图，在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝30－103sin15°＝30－1036－24＝206m.过点A作AN⊥CD于点N，易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得MCsin45°＝206sin30°，解得MC＝403m，在Rt△CMD中，CD＝403×sin60°＝60m，故通信塔CD的高为60m.测量角度如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)[解析]如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.设CO＝xm，则OP＝33xm.在Rt△ABC中，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝20m．所以cos∠BCA＝45.所以AO＝625＋x2－2×25x×45＝x2－40x＋625(m)．所以tanθ＝33xx2－40x＋625＝331－40x＋625x2＝3325x－452＋925.当25x＝45，即x＝1254时，tanθ取得最大值为3335＝539.[答案]539解决测量角度问题的注意事项：①首先应明确方位角或方向角的含义；②分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；③将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的()A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏南30°解析：选C.画出示意图知，点B在点A的南偏东30°.2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.一、选择题1．(必修5P19A组T1改编)一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为()A．152kmB．302kmC．452kmD．602km解析：选B.如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得60sin45°＝BMsin30°，解得BM＝302，故选B.2．(必修5P14例5改编)如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．56mB．153mC．52mD．156m解析：选D.在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BCsin30°＝30sin135°，解得BC＝152(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156(m)．3．(必修5P24A组T5改编)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(3－1)mB．180(2－1)mC．120(3－1)mD．30(3＋1)m解析：选C.如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝603(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以