数学物理方法第5章傅里叶变换-2016

第5章傅里(立）叶(Fourier)变换•让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶（1768–1830）（JeanBaptisteJosephFourier）•法国著名数学家、物理学家，•1817年当选为科学院院士，•1822年任该院终身秘书，•后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席，主要贡献：1.在研究热的传播时创立了一套数学理论2.最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等，3.傅立叶变换的基本思想首先由傅里叶提出；傅里叶(Fourier)生平简介•傅立叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。•1780:读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，•1798:随拿破仑军队远征埃及，任军中文书和埃及研究院秘书，受到拿破仑器重，•1801:伊泽尔省格伦诺布尔地方长官，•1807:热传导的论文《热的传播》，呈交巴黎科学院，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被拒绝，1811:提交经修改的论文，该文获科学院大奖，却未发表,[推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数]1817:当选为巴黎科学院院士,1822:专著《热的解析理论》,1822:科学院终身秘书傅里叶(Fourier)傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。1.傅里叶级数，2.傅里叶积分与变换3.Delta函数（一）周期函数的傅里叶展开(2)()fxlfx这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景三角函数族：21,cos,cos,,cos,2sin,sin,,sin,xxkxlllxxkxlll周期2l0§5.1傅里叶级数01()cossinkkkkxkxfxaabll偶函数奇函数？？？最小正周期：2ll,….,2l/k,…..最小正周期：2l三角函数族：21,cos,cos,,cos,2sin,sin,,sin,xxkxlllxxkxlll正交性三角函数族：正交性1：利用三角恒等式cos(x+y)=cosxcoy–sinxsiny,cos(x-y)=cosxcoy+sinxsiny,2.转化为复数证明3.微分方程的解71()cos,1()sin.lklklklkafdllkbfdll其中2(0)1(0)kkk三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。01()cossinkkkkxkxfxaabll8三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。910狄里希利(狄里克雷Dirichlet)定理：若函数f(z)满足条件：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且(),()1{(0)(0)}.()2fxxfxfxx在连续点在间断点级数和第一类间断点:函数在间断点处左右极限存在，但不相等。11（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开sinkxl是奇函数coskxl是偶函数奇函数f(z)有1()sin,kkkxfxbl1()sin.lklkbfdll偶函数f(z)有01()cos,kkkxfxaal1()cos.lklkkafdll12（三）有限区间中的函数的傅里叶展开f(x)定义于(0,l)可以认为它是某个周期为2l的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为g(x),在半周期(0,l)中g(x)=f(x)这种做法叫延拓。例(),()fxgxx(),()fxgxx偶延拓(),(0,1)fxx奇延拓13（四）复数形式的傅里叶展开,,,,1,,,,kxxxkxiiiilllleeeecos2sin2kxkxiillkxkxiillkxeelkxeeli,)(klxkikecxf其中*1()[].2klilklcfedl*kkcc()cossinkkkkxkxfxabll,22kkkkkkaibaibab（，）kkcc（，）14例1：2(),()fxxx202coskkaxkxdx222=114(1)cos3kkxkxk222=1143kk22=116kk例2：22=01()cos,(1)12coskkfxakxx221(1)cos12coskkkxadxx2121(1)11()kzkzdzizzzcossinikxekxikx2(1)2(1)()kkkkizdzzzX=pi15傅里叶展开与洛朗展开的关系若f(z)在环域1||1z内解析，其洛朗展开()kkkfzcz11()2kkfzcdziz若()在区间[0,2]连续，且为2的周期函数，其傅里叶级数为()ikkkce201()2ikkcedize221(),()11()ixfxzezz2(1)111(1)(1)1zzzzz11111zzz111()()12coskkkkzzkxzz1601(){cossin}.kkkkxkxgxaabll令：1,,kkkkkll01(){cossin}.kkkkkklgxaaxbx则1()cos,1()sin.lkklklkklafdlbfdl若有限，则lim()lllfd01limlim()0.2llllafdl5.2傅里叶积分与傅里叶变换（一）实函数的傅里叶变换17101lim{()coscos}1[()cos]cos.lkkkllklfdxlfdxd余弦部分正弦部分101lim()sinsin1[()sin]sin.lkkkllklfdxlfdxd故00()()cos()sin,fxAxdBxd其中11()()cos,()()sin.AfdBfd18傅里叶积分定理：若函数f(x)在区间(-，+)上满足条件(1)在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)在区间(-，+)上绝对可积（即收敛），则f(x)可表为傅里叶积分，且傅里叶积分值=[(0)(0)]/2fxfx()fxdx00()()cos()sinfxAxdBxd11()()cos,()()sin.AfdBfd190()()cos[()],fxCxd221()[()][()],()tan[()/()].CABBA为振幅谱为相位谱奇、偶函数00()()cos,2()()cos.fxAxdAfd00()()sin,2()()sin.fxBxdBfd偶函数奇函数00()()cos()sinfxAxdBxdcos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny20例11,(),2rect()10,().2xxx定义矩形函数为012121()fxx(1)矩形函数（rectanglefunction)x时间：光学中描述照相机快门，x空间：无限大不透明屏上的单缝的透过率21例(1)矩形函数（rectanglefunction)22例11,(),2rect()10,().2xxx定义矩形函数为012121()fxx将矩形脉冲展开作傅里叶积分。()rect()2tfthT0hTT()ftt偶函数0()()cosfxAxd002()()cos22sincos.TAfdhThd(1)23242526（二）复数形式的傅里叶积分00000000()()cos()sin()()2211[()()][()()]2211[()()][()()]22().ixixixixixixixixixfxAxdBxdeeeeAdBdiAiBedAiBedAiBedAiBedFed1[()()],(0)2()1[()()].(0)21()[cossin]2AiBFAiBfxxixdx*1()()[]2ixFfxedx|w|=-w27*1()F[()]()[]2ixFfxfxedx1()F[()]()ixfxFFed像函数)(F原函数()fx注意：变换和反变换的不同形式28例2例11F[()]rect()22sin.22itTititTTTtfxhedtThhhTedtei29(1)导数定理F['()]()fxiF（三）傅里叶变换的基本性质31(2)积分定理()1F[()]()xfxdxFi(3)相似性定理1F[()]()faxFaa1F[()]()2yaxixfaxfaxedx(4)延迟定理00F[()]()ixfxxeF(5)位移定理00F[()]()ixefxF0()1()2ixfxedx(6)卷积定理11F[()]()fxF22F[()]()fxF若和则1212F[()()]2()()fxfxFF卷积1212()()()()fxfxffxd121[()()]2ixffxdedx（三）傅里叶变换的基本性质多重傅里叶变换0a（2）高斯函数傅里叶变换令224ixaxaeedxea则问题来源？2xedx2axedxa问2()2iaxaedxa222?iaaziaedz2()axyedxay解析延拓，取2iya34222iaaziaedza-RR2ia2221iaziaedza2222220()()20220iRaRzxRiyzRiyaRiaRaedzedxeidyedzeidy222200RyiRyaeeedyR直接计算35$5.3－函数36数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限一维考虑线质量密度l0lm/2/l2/l)(xlx2/2/)(lllmdxlmdxx总质量0l0lim()(),llxdxxdxm的极限下总质量不变000,(0)()lim()lim().(0)lllxmxxxrectxll密度广义函数－函数定义（2条）:0(0)()(0)xxx0(,0,,0)()1(0)baababxdxab