数学物理方法配套教案(第四版)

数学物理方法南昌大学物理系杨小松2014年2月第五节平面标量场用复变函数表示平面标量场在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场。取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为),(i),()(yxAyxAzAAyx理想流体定常流平面温度场例题：P18例1、例2第六节多值函数根式函数22sini22coskkrz是主幅角其中,1,0,krezi记202sini2cosierr212sini2cosierr值域的幅角范围为[π,2π)值域的幅角范围为[0,π)w0w1支点n-1阶支点一阶支点Riemann面黎曼面第二章复变函数的积分2.1复变函数的积分2.2科西定理2.3不定积分2.4科西公式性质CCCdzzgBdzzfAdzzBgzAf)()()]()([2121)()()(CCCCdzzfdzzfdzzf的逆向是其中CCdzzfdzzfCC,)()(CCdzzfdzzf)()(的长度为其中ClzfMMldzzfC|,)(|max,)(路积分的计算方法1.归为二元函数的积分来计算，计算公式为2.参数方程的表达形式C:z=z(t)CCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxudzzf),(),(i),(),()(dttztzfdzzfC)()]([)(t举例CzdzRe其中：(1)C为由原点到(1,0)再到(1,1)的折线；(2)C为由原点到(1,1)的直线1||22)1(1izdzz计算积分：3|2|22)9(1izdzz计算积分：定义：绝对收敛与条件收敛称级数是绝对收敛的，如果是收敛的1nnw1||nnw定理三：收敛的必要条件级数收敛的必要条件是1nnw0limnnw定理二：收敛的充分必要条件设，则级数收敛的充分必要条件是和都收敛，其中un和vn皆为实数。),2,1(invuwnnn1nnw1nnu1nnv称级数是条件收敛的，如果是发散的，而是收敛的1nnw1||nnw1nnw性质连续性可积性解析性级数在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw级数在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续)(1zwnn级数在B内一致收敛于f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且)(1zwnn1)()()()(nknkzwzf问题的提出已知结果：当f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。第5节洛朗级数展开双边幂级数其中nnnnnnnzzazzazzazzaazzazzazza)()()()()()()(00202010101202000)(nnnzza被称为双边幂级数的正幂部分10)(nnnzza被称为双边幂级数的负幂部分00)(nnnzza正幂部分10)(nnnzza负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收敛环R2|z-z0|R101zz收敛环的确定设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2，则其在|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域R2|z-z0|R1内收敛，所以R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。孤立奇点概念若函数f(z)在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。举例孤立奇点的例子2/111,,1zezz非孤立奇点的例子)/1sin(1z1,21,,0,,21,1第四章留数定理及其应用4.1留数定理4.2应用留数定理计算实变函数定积分*4.3计算定积分的补充例题5.3函数第五章Fourier变换5.1傅立叶级数5.2傅里叶积分和傅里叶变换Fourier展开基本函数族1sin,cos,1nxlnxln函数f(x)的Fourier展开式10sincosnnnxlnbxlnaaxflldfla210llndlnflacos1llndlnflbsin1Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理若f(x)满足：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则()()1[(0)(0)]2fxxfxFourierfxfxx在连续点函数的展开在间断点l-l正弦级数和余弦级数若函数f(x)是奇函数，则Fourier展开成正弦级数若函数f(x)是偶函数，则Fourier展开成余弦级数例1：设f(x)=x+1,x∈(0,l),试将其展开成正弦级数．例子l-l例2：设f(x)=x,x∈(0,l),试将其展开成余弦级数．例3：设f(x)=x,x∈(0,l),试根据条件f’(0)=f(l)=0将其展开成Fourier级数．l-ll-l2l-2l复形式的Fourier级数基本函数族nxlnie函数f(x)的Fourier展开式nxlninecxflllnindeflc21例1：矩形函数是指试将矩形脉冲展开成Fourier积分．210211rectxxxTthtf2rect01234567-1-0.500.511.522.533.543;2hTAhT2TT3T4T2tfthTOTThAsin2例2：具有2N个完整波形的正弦波列：试将它展开成Fourier积分．000202sinNtNttAtf-40-30-20-10010203040-1011;1;100AN020202sin2NAB00.20.40.60.811.21.41.61.82-4-2024681012B002NAN2110N2110Fourier变换的性质性质1（导数性质）()()fxiF性质2（积分性质）1()()xfxdxFi性质4（延迟性质）0()()ixfxxeF性质3（相似性质）1()faxFaa性质5（位移性质）0()()ixefxF性质6（卷积性质）1212()()2()()fxfxFF性质1（导数性质）()()fxiF性质2（积分性质）1()()xfxdxFi性质4（延迟性质）0()()ixfxxeF性质3（相似性质）1()faxFaa性质5（位移性质）0()()ixefxF多重Fourier积分321321321),,(),,(dkdkdkekkkFzyxfzkykxkidxdydzezyxfkkkFzkykxki321),,(21),,(3321kdekFrfrki3)()(rderfkFrki33)(21)(kdekFrfrki32/3)(21)(rderfkFrki32/3)(21)(例123(0)0,(0)1tyyyeyy解：设{y(t)}=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有21()(0)(0)2[()(0)]3()1pYppyypYpyYpp21()12()3()1pYppYpYpp3118842()(1)(1)(3)113pYppppppp()yt3311488ttteee-1{Y(p)}利用初始条件，得到例2222(0)(0)(0)(0)0tyxxyeyxyxtyyxx解：设{y(t)}=Y(p)，{x(t)}=X(p)，方程组两边取Laplace变换，并利用初始条件，得到()xtttte-1{X(p)}2222212()()()()112()()2()()pYppXppXpYppppYppXppYpXpp222(1)()()(1)12()(1)()(1)ppYppXppppYppXppp2221()(1)21()(1)YppppXppp()yt1ttete-1{Y(p)}例30()(1)(0)0tdiidtdti解：设{i(t)}=I(p)，方程两边取Laplace变换，并利用初始条件，得到1()()ppIpIpep()itcos(1)(1)tHt-1{I(p)}2()1ppIpep数学物理方程☆课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、1-6,14输运方程、7-8稳定场方程、9-13贝赛尔函数、勒让德函数☆数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。数学物理方程☆课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、1-6,14输运方程、7-8稳定场方程、9-13贝赛尔函数、勒让德函数☆数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。简化假设：(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。cos1cos'1gds'MMdsxTyxdxx''T牛顿运动定律：sin'sin'TTgdsma横向：cos'cos'TT纵向：(,)sintan(d,)sin'tan'uxtxuxxtx其中：'TT(d,)(,)uxxtuxtTgdsmaxx22(d,)(,)(,)dduxxtuxtuxtTgxxxxt其中：ddsx22(,)mdsuxtat22(d,)(,)(,)(,)dduxxtuxtuxtuxtxxxxxxx2222(,)(,)dduxtuxtTgxxxt其中：从麦克斯韦方程出发：cv0DHJtBEtDB在自由空间：HBED00HEtHEtEHcv0,0