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第四章分离变量法(五)§4.5正交曲线坐标系下的处理方法020,02二、坐标系的选择应该选择边界面和坐标面重合的坐标系例如:边界:长方形球体圆锥柱坐标系:直角坐标球坐标球坐标柱坐标三、正交曲线坐标系中的∆u1、在柱坐标系中222222uuuuxyzcossinuuxuyuuxyxy1222222222222222cossincos2sincossinuuxuyxxyuxuyyxyuuuxxyy2此即是在柱坐标中的∆u表达式2、在极坐标中对于极坐标可看成是柱坐标当z=0时的特例,故可得表达式为:222222211uuuuuz2222211uuuuz或者:四、正交曲线坐标系中的分离变量法1、2、令为2k0并令:注意:3、22u(,)u20(2)()n000000002220,(),(2),0,().0,,(),0,()cossin,1,2,3,.....,()cossin01,2,..()nnnnnnBABABABAnnAeBenAnBnnAnBnnA则由边界条件,若无解。若代入边界条件,本征值,本征函数cossinnnBn再来求即欧拉方程:022RnRR22200001ln,,0,ln(0)()(0)nntntnnnnnntdtddRnRdtCDtCDnRCeDeCDn令:原方程可化为:解之得:000ln(1)00,0,().(0,1,2,...)(,)()()(cossin).(,)(cossin)()(cosnnnnnnnnnnnnnnnnnnDDRCnuRAnBnuAnBnfaAn注意到自然边界条件,有界性。处,和都是无穷大,但是圆盘在时温度应该有限,取而只能有于是,原方程的解为:代入边界条件,0sin)nnBn00001()21()cosn11()sinn1(,)(cossin)nnnnnnnnnnaAfdaAfndaBfndunna由傅立叶系数公式,得:从而,原问题的解为:4、2k且5、02k令五、
本文标题:数学物理方程分离变量法5n
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