结构力学力矩分配法

欢迎使用工程力学系多媒体教学课件系列力矩分配法力矩分配法本章要理解力矩分配法的概念及基本原理、基本思路，重点掌握用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。这也是本章的难点在学习中要清楚力矩分配法是一种渐进法，要明确两个状态——固定状态和放松状态，掌握力矩分配法的三要素（固端弯矩、分配系数、传递系数）的计算，才能真正领会力矩分配法的意义。另外，在熟练掌握力矩分配法的基础上，本章还将简单介绍无剪力分配法、附加链杆法和分层法等实用计算方法。它们与力矩分配法通称为渐进法。要理解这些方法的计算原理。教学基本要求、重点和难点：力矩分配法1基本概念3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架2力矩分配法的基本原理力矩分配法1基本概念3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架2力矩分配法的基本原理1基本概念二、力矩分配法的正负号规定力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。另外，作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。一、力矩分配法的应用条件理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：通过增量调整修正，逐步逼近真实状态；适用范围：连续梁和无侧移刚架。水利土木工程学院结构力学课程组1基本概念三、转动刚度杆件杆端抵抗转动的能力，称为杆件的转动刚度，AB杆A端的转动刚度用SAB表示，它在数值上等于使AB杆A端产生单位转角时所需施加的力矩。力矩分配法iSAB4iSAB3iSABABi1ABi1ABi11SAB=4i1SAB=3iSAB=i1BABABA由左图可知，杆端转动刚度SAB值不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端的支承情况有关,而与近端支撑无关。1基本概念四、分配系数和分配弯矩ACBDMABADMACMA待分配力矩'MAAM'Z11ZZ111111134ZSiZMZSiZMZSiZMADADACACABAB,0AMAADACABMMMMSMSSSMZAADACABA1AADADAACACAABABMSSMMSSMMSSM,,（j=B、C、D）SSAjAj分配系数分配弯矩AAjAjMM同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即1ADACABAj力矩分配法1基本概念五、传递系数和传递弯矩ACBDMABADMACMA待分配力矩'MAAM'Z11ZZ1远端弯矩与近端弯矩的比值称为弯矩传递系数。1ZiMADDA12ZiMABBA0CAM21ABABBACMM0ACACCACMM1ACACDACMMAjjAAjMMC在等截面杆件中，弯矩传递系数C随远端的支承情况而不同。三种基本等截面直杆的传递系数如下：远端固定21AjC远端铰支0AjC远端滑动1AjC力矩分配法力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§7.4无剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加链杆法§7.6多层多跨刚架的分层计算法一、单结点连续梁的力矩分配法2力矩分配法的基本原理力矩分配法i2kN/m⑴附加刚臂，确定基本体系⑵固定刚臂，计算固端弯矩m,kN15FBAM　m,kN9FBCMm,kN15FABMmkN61FBCFBAPMMR结构无结点转角位移时，交汇于结点各杆固端弯矩的代数和，称为该结点的不平衡力矩，并规定顺时针转向为正。20kNACB3m6m3miACB151599R1P152kN/m20kNACBZ1基本体系0FCBMMB=mkN61FBCFBAPMMR一、单结点连续梁的力矩分配法2力矩分配法的基本原理力矩分配法i2kN/m20kNACB3m6m3mi2kN/m20kNACBACB151599MB15Z1基本体系ACBZ14iZ13iZ1=SBAZ1=SBCZ1⑶放松刚臂，计算刚臂转动Z1时结点的反力矩R11。114ZSiZMBABA011BCBAMMR)(11BBCBAMSSZ113ZSiZMBCBC0111PRR111)()(ZSSMMRBCBABCBA　　⑷计算转角Z1。R11BAMBCMSBAZBSBCZB一、单结点连续梁的力矩分配法2力矩分配法的基本原理力矩分配法i2kN/m20kNACB3m6m3mi⑸力矩分配)()(BBABBCBABABAMMSSSM)()(BBCBBCBABCBCMMSSSMiSiSBCBA3,4429.0433571.0434iiiiiiBCBA由于426.3)(BBABAMM574.2)(BBCBCMM426.3574.2-MBACB15159915ACBZ14iZ13iZ1R11SBAZ1SBCZ1=SBAZ1=SBCZ1MBBAMBCM一、单结点连续梁的力矩分配法2力矩分配法的基本原理力矩分配法ACB15159ACBZ19MB154iZB3iZBR11SBAZBSBCZB=SBAZB=SBCZB⑹力矩传递。由于转角Z1引起的远端弯矩称为传递弯矩，有713.1)426.3(5.0BAABABMCM0)574.2(0BCCBCBMCM⑺计算最终杆端弯矩。714.16714.115ABM574.11426.315BAM574.11574.29BCM0CBM⑻作最终弯矩图。C0713.1ACB93016.71411.574M图(kN·m)426.3574.2-MB2力矩分配法的基本原理力矩分配法⑵固定—计算固端弯矩和结点不平衡力矩⑴计算分配系数i2kN/m20kNACB3m6m3mi⑶放松—计算分配弯矩⑷计算传递弯矩⑸叠加—计算最终杆端弯矩⑹画弯矩图AC0.5710.429分配系数固端弯矩-1515-90分配弯矩结点不平衡力矩426.3574.26传递弯矩0713.1杆端弯矩-16.71411.574-11.5740ACB93016.71411.574M图(kN·m)单结点连续梁的力矩分配法小结2力矩分配法的基本原理力矩分配法荷载作用下的杆端弯矩，由载常数表查得。将结点的不平衡弯矩改变符号，乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端弯矩称为该点各杆的分配弯矩。将结点的分配弯矩乘以传递系数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递弯矩杆端固端弯矩、全部分配弯矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端弯矩。固端弯矩：不平衡弯矩：分配弯矩：传递弯矩：最终杆端弯矩：固定状态下交汇于结点各杆固端弯矩的代数和，称为结点的不平衡弯矩。力矩分配法922342932343942344iiiiiiiiiiiiADACAB⑵计算固端弯矩和结点不平衡力矩⑴计算分配系数iSiSiSADACAB234mkNqlMFBA40124301222mkNqlMFAB40124301222mkNFlMFAD758450383mkNFlMFDA25845080FCAM0FACMmkNMMMMFADFACFABA35)75(0404m2m2m4m30kN/m50kNBDEI2EIEIii2i4EIiAC2力矩分配法的基本原理力矩分配法ABCD⑶计算分配弯矩⑷计算传递弯矩⑸计算杆端弯矩⑹画弯矩图ABACAD4/92/93/9分配系数传递弯矩结点不平衡力矩-35分配弯矩15.5511.677.78固端弯矩-40+400-75-25+7.78-7.780杆端弯矩-32.22-32.7855.5511.67-67.220ABCDM图(kN·m)32.7867.2255.5532.2211.672力矩分配法的基本原理力矩分配法二、多结点问题的力矩分配法2力矩分配法的基本原理单结点问题比较简单，一次放松即可消去附加刚臂作用，得到精确解。但是对于多结点问题，由于不能同时放松或固定全部的结点，只能采取逐个放松或固定结点的方法。下面将通过两个结点的连续梁说明多结点问题的力矩分配法的基本原理。EI=120kN/m100kNACB6m4m4m6mEI=2EI=1D333.0,667.06.0,4.0CDCBBCBA　　　⑴计算分配系数21613,18241824,32614CDCBBCBASSSS　　EI=120kN/m100kNACBEI=2EI=1D力矩分配法2力矩分配法的基本原理mkNMFBA0.60mkNqlMFAB0.60124301222mkNFlMFBC100881008mkNMFCB100⑵计算固端弯矩EI=120kN/m100kNACBEI=2EI=1D分配系数固端弯矩C一次分配传递B一次分配传递C二次分配传递最后杆端弯矩B二次分配传递C三次分配传递B三次分配传递⑶固定B，放松C⑷固定C，放松B⑸重复⑶、⑷⑺计算杆端弯矩⑹再重复⑶、⑷⑻画弯矩图60–60–100100000.4000.6000.6670.333–66.7–33.3–33.444.029.414.722.0–14.7–7.3–7.34.42.91.52.20.40.3–0.7–1.5–0.7–43.892.6–92.6–41.341.30M图(kN·m)ACBD43.892.641.3133.1力矩分配法2力矩分配法的基本原理三、力矩分配法的基本步骤计算分配系数根据位移法原理，在刚结点处附加刚臂。由各杆的相对线刚度和远端支承情况确定转动刚度并计算分配系数。计算固端弯矩和结点不平衡力矩叠加法计算最后杆端弯矩根据最后杆端弯矩画弯矩图弯矩的分配与传递逐个循环放松或固定相应的结点使力矩平衡。每平衡一个结点时，按分配系数将该结点的不平衡力矩反号分配于各杆端；然后将各分配弯矩乘以传递系数，传递至远端。将上一步骤循环应用直至分配弯矩减小到规定值为止。上述步骤可应用于无结点线位移的连续梁和刚架。力矩分配法§7.2力矩分配法的基本原理固定放松再固定再放松……分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。因为分配系数小于1，传递系数也小于1，因此一轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精确解。实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递。力矩分配法§7.1基本概念§7.3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§7.4无剪力分配法§7.2力矩分配法的基本原理§7.5附加链杆法§7.6多层多跨刚架的分层计算法力矩分配法3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【解】【例1】6kN/m20kNACB4m4m4mEIEIACB分配系数0.730.27固端弯矩结点不平衡力矩-88-30（-22）0用力矩分配法画弯矩图。⑵计算固端弯矩和结点不平衡力矩⑴计算分配系数iEIiiEIiBCAB5.08,4　iiSiiSBCBCABBA5.13,44　27.05.145.173.05.144iiiiiiBCBA⑶分配和传递⑷计算最终杆端弯矩⑸画弯矩图传递弯矩+8.03)21(0)0(杆端弯矩-0.03+24.06-24.060ABCD0.0324.060.04527.97(12)M?(kN·m)分配弯矩+16.06+5.94力矩分配法3力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架【解】【例2】用力矩分配法画弯矩图。i40kNACB3m6m3mi55kN·mB055kN·m30⑵计算固端弯矩和结点不平衡力矩⑴计算分配系数⑶分配传递，计算最终杆端弯矩⑷画弯矩图iSiSBCBA3,4　429.0433,571.0