材料力学课件 压杆稳定

一、工程中的压杆二、压杆的失效形式三、压杆失稳的实例§9.1压杆稳定的概念四、压杆稳定的概念一、工程中的压杆：网架结构中的杆网架结构中的杆一、工程中的压杆：网架结构中的杆一、工程中的压杆：钢结构桥梁中的杆一、工程中的压杆：铁塔中的杆一、工程中的压杆：小亭的立柱一、工程中的压杆：桥墩一、工程中的压杆：吊车的顶杆一、工程中的压杆：火车卧铺的撑杆一、工程中的压杆：压力机的压杆一、工程中的压杆：强度不足失稳————粗短压杆细长压杆二、压杆的失效形式][NAF1.1907年加拿大圣劳伦斯河在架奎伯克桥时，由于悬臂桁架中的一根压杆失稳，造成桥梁倒塌，9000吨钢材变成一堆废墟。三、压杆失稳的实例1907年加拿大魁北克桥的失稳(跨度548m,重9000T。86人施工，死75人)2.1922年冬天下大雪，美国华盛顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一根压杆超载失稳，造成剧院倒塌，死98人，伤100余人。3.2000年10月25日上午10时30分，在南京电视台演播中心演播厅屋顶的浇筑混凝土施工中，因脚手架失稳，造成演播厅屋顶模板倒塌，死5人，伤35人。第一节压杆稳定的概念1.稳定的分类无穷多个平衡点—随遇平衡一个平衡点—稳定平衡没有平衡点—不稳定平衡2.失稳的定义压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态下的不稳定平衡成为失稳。临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。四、压杆稳定的概念F轴压F（较小）压弯F（较小）恢复直线平衡曲线平衡直线平衡QF（特殊值）压弯失稳曲线平衡曲线平衡F（特殊值）保持常态、稳定失去常态、失稳QQQ压杆失稳的现象：1.轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态；2.轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯一的平衡状态；稳定：理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）（Stable）直线平衡状态；失稳：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直（Unstable）线平衡状态；压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值临界力（Criticalforce）§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式思路：假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态平衡，1）求得的挠曲函数≡0，2）求得不为零的挠曲函数，然后设法去求挠曲函数。若：平衡状态；说明只有直线确能够在曲线状态下平衡，说明压杆的稳现象。即出现失设：FFxylFxyyxxMwEIFwxMEIFk202wkwxy由M(x)FN压杆处于微弯状态，且p一、两端铰支细长压杆的临界压力kxBkxAwcossin(c)0cossin010BklAklBA0B0sinkl(n=0，1，2，)lnkx=0，w=0x=l，w=002wkw，，π2,π0kl由kl＝有πcrlEIF22crπlEIF亦即两端铰支细长中心压杆临界力公式：22crπlEIF讨论：失稳挠曲线——半正弦波曲线lxAwsinmax2wwAlx杆在任意微弯状态下保持平衡时为不确定的值。这是因为推导过程中是用的挠曲线近似微分方程。临界压力的精确解精确解EIxM1EIxMw（近似解）欧拉解22crlEIF精确失稳挠曲线微分方程？2321wwFOymaxFcr欧拉解精确解欧拉公式适用于小变形情况临界压力的精确解推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小的平面。§9-3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式·压杆的长度因数现在来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。wFxMcrwFxMwEIcr)()1(crcrEIFwEIFw1.建立压杆挠曲的近似微分方程解:2.求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力令由(1)式得EIFkcr222kwkw)2(cossinkxBkxAw)2(cossinkxBkxAw一阶导数为)3(sincoskxBkkxAkw根据边界条件x=0，w=0得A＝0。由边界条件x=0，w=0得B=-。(4)cos1kxwx=l时w=，由(4)式出0cosklklcos1得coskl=0。kl的最小值为kl=/2，亦即从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：2πcrlEIF2222cr2π4πlEIlEIF0coskl试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式。图(a)中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面。xlFwFxMycr][crxlFwFwEIy令k2=Fcr/EI，将上式改写为xlEIFwkwy2xlFFkwkwycr22(a)cossincrxlFFkxBkxAwy(a)cossincrxlFFkxBkxAwy(b)sincoscrFFkxBkkxAkwy式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。由边界条件x=0，w=0得A=Fy(kFcr)。由边界条件x=0，w=0得B=-Fyl/Fcr。(c)cossin1crxlkxlkxkFFwy再利用边界条件x=l，w=0，由上式得0cossin1crkllklkFFy由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即，从而得到此压杆临界力的欧拉公式为49.4crlEIF2222cr7.0π49.4lEIlEIF0cossin1kllklkklkltan亦即k=4.49/l代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程：lxkxkxFlFwy1cos49.4sincr利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在x=0.3l处(图b)。FMkwkw22MFwxMEIw)(EIFk2:令FMkxdkxcw/sincos0',;0',0wwLxwwx解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。ＦLxＦM0ＦM0ＦM0xＦFw-M0nkLnkLdFMc2,0,并2222)2/(4LEILEIFcr2kL为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为：2nkL=0.50.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状FcrABl临界力Fcr欧拉公式长度系数μ22lEIFcr22)7.0(lEIFcr22)5.0(lEIFcr22)2(lEIFcr22lEIFcr=10.7=0.5=2=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lFcrFcrl2llC—挠曲线拐点表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：22crπlEIF长度因数，它与杆端约束情况有关；l——压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为l的两端铰支压杆的临界力。1.一端固定、另一端自由FlcrFllcrFcr22cr2lEIF22cr2lEIFlFcr拐点拐点2l4l4lFcrF=NcrFcrFNcr4l4lFNcr2lF=NcrFcr2.两端固定22cr32lEIFlFcr拐点32lF'cr拐点Fcr3.一端固定、另一端铰支运用欧拉公式计算临界力时需要注意：(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的I应是杆的横截面的最小形心主惯性矩Imin。(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，22cr5.0πlEIFz对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，22crπlEIFy而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。xyz轴销[例]五根直径都为d的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图(a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。解（a）BD杆受压其余杆受拉BD杆的临界压力222aIEFcr222EIa故杆系所能承受的最大载荷crBDNFPFmax,222EIa243max128adEP（b）BD杆受拉其余杆受压四个杆的临界压力22aIEFcr故杆系所能承受的最大载荷：crABNFPF2max,243max642adEP[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆（设0θπ/2）。求载荷P为最大值时的θ角。90②①：解得两杆的压力分别为解：由静力平衡条件可sincos21PFPFNN，两杆的临界压力分别为PEIlPEIlcrcr12122222，最大，即都达到临界压力时、PFFNN21）（）（2sin1cos222212lIEPlIEP便得除以式将式),1()2(2221)(tanctnll)tan(ctanarc290②①§9.4欧拉公式的使用范围临界应力总图22crπlEIF欧拉公式一、欧拉临界应力公式及其使用范围临界应力——临界压力除以横截面面积1.临界应力即：——惯性半径AlEI2222ilE2AiIAIiil——压杆的柔度或细长比反映了杆端的约束情况、杆的长度、横截面的尺寸和形状等因素对临界应力的综合影响22EcrAFcr是无量纲量2.适用范围欧拉公式的适用范围：即：pcrpEp记：ppE满足p的压杆与材料的力学性能有关22E对于Q235钢：E=200GPa，p=200MPa100102001020069p大柔度杆（细长杆）——欧拉公式的应用条件：大柔度杆PcrE22PPE2二、中柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式PS时：scrbassba界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临Psbacr求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其P2.抛物线型经验公式211bacrScEAA56.043.016253，锰钢：钢和钢、对于。时，由此式求临界应力c我国建筑业常用：Ps时：21cscr3、折减弹性模量公式σsσcrOλσpλp22Ecr22rcrE三、小柔度杆的临界应力这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题计算。满足s的压杆临界应力cr=s小柔度杆（粗短杆）——iLcr22Ecr四、临界应力总图bacrPSbassPPE2可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小例图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，解：1.求查表：试求立柱的临界压力。属于中柔度杆3.5mFABzyNo.28a2cm4.55Ayyil495.2105.35.0270查表：100p60sQ235钢p02.求Fcr查表：MPa304aMPa12.1bbacrMPa7012.1304MPa226AFcrcrN104.551022646k