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八年级数学理科班讲义教学-几何证明1/10BCDAOBCEDAABCA’B’C’ABCA’B’C’8、八年级数学理科班:直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点:一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。简记为HL。1、【定理证明】已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°,AC=A’C’,AB=A’B’求证:Rt△ABC≌Rt△A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图,具有下列条件的Rt△ABC和Rt△A’B’C’(其中∠C=∠C’=90°)是否全等?如果全等在()里打“√”,并在“——”上填写判定三角形全等的理由,如果不全等,在()里打“×”.(1)AC=A’C’,∠A=∠A’()_______(2)AC=A’C’,BC=B’C’()_______(3)AB=A’B’,BC=B’C’()_______(4)∠A=∠A’,∠B=∠B’()________3、【应用练习】选择题1.下列说法正确的有()①斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等②两条边分别相等的两个直角三角形全等③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等④斜边相等的两个等腰直角三角形全等A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知,如图,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于O,且BD=CE,则图中全等的三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对3.如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角()A.相等B.不相等C.互余或相等D.相等或互补4.如图,已知:∠A=∠D=90°,AB=CD,求证:AC=DB八年级数学理科班讲义教学-几何证明2/10BCFEDABCFEDABCFEDAABCDEFACBD5.如图,已知:AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,BF=CE.求证:AB∥CD6.如图,已知:AB=AE,∠B=∠E=90°,AF垂直平分CD,求证:BC=DE7.如图,已知:AD平分∠BAC,DB⊥AB,DF⊥AC于点F,ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8.已知:AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E、F,求证:CE=DF二、直角三角形的性质1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余(显然)②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2、【定理证明】已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线.求证:ABCD21八年级数学理科班讲义教学-几何证明3/10例1.共斜边型直角三角形1.如图,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB与E,连接DE,取BC的中点M,DE的中点N,问:MN与DE有什么样的位置关系,并说明理由。2.如图,△ABC和△ABD是以AB为斜边的直角三角形,如果E、F分别是AB、CD的中点。问:EF与CD有什么样的位置关系,并说明理由。例2.直角三角形性质的逆命题成立4.已知:如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上任一点。求证:△ACB是直角三角形4、【推论】1.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.2.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°.含30°的直角三角形边的速算1.已知:以下直角三角形中,较小的角是30°,求另外两条边的长。八年级数学理科班讲义教学-几何证明4/10ABDC82.562.△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=3,则∠A=____________.3.△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=3,则b=_________.含30°的直角三角形性质应用1.已知:△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,DA平分∠BAC,BD=2DC.求证:(1)∠B=30°;(2)D在线段AB的垂直平分线上.2.已知:如图,△ABD中,∠B=90°,∠BAD=60°,点C是BD上一点,且∠BAC=45°,CD=10,求BC的长。3.如图,在四边形ABCD中,90ADCABC,对角线AC与BD相交于点O,M、N分别是边AC、BD的中点.(1)求证:MN⊥BD;(2)当15BCA,AC=10cm,OB=OM时,求MN的长.ABCDMNOCDBA八年级数学理科班讲义教学-几何证明5/10CABDGBECFDA拓展思考1、已知四边形ABCD是正方形,当点E在BC上,点F在CD上,AE和BF交于点G且AE=BF。求证:AE⊥BF。2、已知:如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G是垂足.求证:(1)G是CE的中点;(2)∠B=2∠BCE【回家作业】:一、填空:(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一个锐角度数为_____;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么∠A=___,∠B=___;(3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,那么,与∠B互余的角有____,与∠A互余的角有____,与∠B相等的角有___,∠A相等的角有_____。八年级数学理科班讲义教学-几何证明6/10CBDAFE4、在△ABC中,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线,那么与CE相等的线段有_________,与∠A相等的角有_________,若∠A=35°,那么∠ECB=_________.5、在直角三角形中,斜边及其中线之和为6,那么该三角形的斜边长为________.6.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A=25度,那么∠BCD=度.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,AB=4厘米,那么CD=厘米.8.在△ABC中,∠ACB=90º,∠A=20º,CD与CE分别是斜边AB上的高和中线,∠DCE=_____二、简答:1.如图,M是Rt△ABC斜边AB上的中点,D是边BC延长线上一点,∠B=2∠D,AB=16cm,求线段CD的长.2.已知,如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC于D,E为AC的中点,AB=6,求DE的长。3.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等。求证:AE=DF。ABMCD八年级数学理科班讲义教学-几何证明7/10BACFEDBACFED4.已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE⊥AD,BE交AD的延长线于点E,点F是AB的中点.求证:EF∥AC5.已知:如图,在△ABC中,CD⊥AB垂足为D,BE⊥AC垂足为E,联结DE,点G、F分别是BC、DE的中点.求证:GF⊥DE.6.在△ABC中,AD⊥BC,CE是AB上的中线,BE=CD,DF⊥EC,垂足为F.求证:(1)F是EC的中点;(2)∠B=2∠BCE.FGACDEBFEBCAD八年级数学理科班讲义教学-几何证明8/107.已知:如图△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上任意一点,DE⊥AB于E,M,N分别是BD,CE的中点,求证:MN⊥CE.8.如图,AC、BD相交于点E,且BA=BE,CE=CD,M、N、P分别是AE、DE、BC的中点.求证:MP=NP.9.已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,M为AB边的中点,联结ME、MD、ED。(1)求证:△MED为等腰三角形;(2)求证:∠EMD=2∠DAC.NEMCBADPNMEACBDABCDEM八年级数学理科班讲义教学-几何证明9/1010.如图,∠ABC=90°,M为AC的中点,CD∥MB,AD⊥CD,点N在CD上,DN=MB,试说明BD与MN的位置关系.11.如图,AD是△ABC的∠BAC内部的任意一条射线,BD⊥AD,CE⊥AD,垂足分别为D、E,M是BC的中点.求证:MD=ME12.已知,如图:在四边形ABCD中,BD⊥DC,AC⊥AB,E为BC的中点,∠EDA=60°.求证:AD=ED.NDMBCAMEBCADBECAD八年级数学理科班讲义教学-几何证明10/1013.如图,在△ABD中,∠D=90°,点E在AD上,且∠ABE=2∠EBD,AC∥BD.求证:EC=2AB.14.在△ABC中,点D在AC上,且BD⊥AB,∠C=2∠A.求证:AD=2BC.15、已知:如图29,△ABC为Rt△,∠BAC=90°,AB=AC,D、E是BC上两点(与BC不重合)且∠DAE=45°。求证:222DEECBDEBDACACBDCBADE(29)
本文标题:八年级数学理科班讲义教学-几何证明
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