华东师大版八年级数学上册 第13章 全等三角形 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 专题检测题 含答

华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形全等三角形问题中常见的辅助线的作法专题检测题1．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是()A．6＜AD＜8B．2＜AD＜14C．1＜AD＜7D．无法确定2．如图，在△ABC中，AD为BC上的中线，E为AC的一点，BE与AD交于点F，若AE＝EF.求证：AC＝BF.3．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G.若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．4．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点F，试猜想AE，CD，AC三条线段之间的数量关系，并加以证明．6．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD＝∠FAE.求证：BE＋DF＝AE.7．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°.(1)证明：BE＋CF＝EF；(2)求△AEF的周长．三、过角平分线上一点向角两边作垂线8．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，求证：AB＝BC＋CD.9．如图，AB＜BC，BD平分∠ABC，AD＝DC，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°.10．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD.11．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于D.求证：CD＝AB＋BD.12．如图，在△DEF中，DE＝DF，过EF上一点A作直线分别与DE，DF的延长线交于点B，C，且BE＝CF.求证：AB＝AC.答案：1.C2.证明：延长AD至G，使DG＝AD，连结BG，在△BDG和△CDA中，∵BD＝CD∠BDG＝∠CDADG＝DA，∴△BDG≌△CDA(S.A.S.)，∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，又∠BFG＝∠AFE，∴∠CAD＝∠BFG，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF3.延长FE，截取EH＝EG，连结CH，∵E是BC中点，∴BE＝CE，∴∠BEG＝∠CEH，在△BEG和△CEH中，BE＝CE∠BEG＝∠CEHGE＝EH，∴△BEG≌△CEH(S.A.S.)，∴∠BGE＝∠H，∴∠BGE＝∠FGA＝∠H，∵BG＝CH，∵CF＝BG，∴CH＝CF，∴∠F＝∠H＝∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F＝∠CAD，∠BAD＝∠FGA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC4.证明：延长CE到F，使EF＝CE，连结FB.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝EB，又∵∠AEC＝∠BEF，∴△AEC≌△BEF(S.A.S.)，∴∠A＝∠EBF，AC＝FB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF，∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD，又∵AB＝AC，AC＝FB，∴FB＝BD，又∵CB＝CB，∴△CBF≌△CBD(S.A.S.)，∴CD＝CF＝CE＋EF＝2CE5.在CA上取点G使得CG＝CD，∵∠AFC＝180°－12(∠BAC＋∠ACB)＝180°－12(180°－60°)＝120°，∴∠AFE＝∠CFD＝60°，∵在△GCF和△DCF中，FC＝FC∠GCF＝∠FCDCD＝CG，∴△GCF≌△DCF(S.A.S.)，∴∠GFC＝∠CFD＝60°，CD＝CG.∴∠AFG＝120°－60°＝60°＝∠AFE，∵在△AEF和△AGF中，∠AFE＝∠AFG∠EAF＝∠GAFAF＝AF，∴△AEF≌△AGF(A.S.A.)，∴AE＝AG，∴AE＋CD＝AG＋CG＝AC6.延长CB到G，使BG＝DF，连结AG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，AB∥CD，∠D＝∠ABC＝90°，∴∠5＝∠BAF＝∠1＋∠3，∠ABG＝180°－∠ABC＝90°，在△ABG和△ADF中，AB＝AD∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF∴△ABG≌△ADF(S.A.S.)，∴∠G＝∠5，∠1＝∠2＝∠4，∴∠G＝∠5＝∠1＋∠3＝∠4＋∠3＝∠EAG，∴AE＝GE＝BE＋GB＝BE＋DF7.(1)延长AB到N，使BN＝CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ACD＝∠ABD＝30°＋60°＝90°＝∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，BD＝CD∠NBD＝∠FCD＝90°，BN＝CF∴△NBD≌△FCD(S.A.S.)，∴DN＝DF，∠NDB＝∠FDC，∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠EDB＋∠FDC＝60°，∴∠EDB＋∠BDN＝60°，即∠EDF＝∠EDN，在△EDN和△EDF中，DE＝DE∠EDF＝∠EDNDN＝DF，∴△EDN≌△EDF(S.A.S.)，∴EF＝EN＝BE＋BN＝BE＋CF，即BE＋CF＝EF(2)∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝AC＝2，∵BE＋CF＝EF，∴△AEF的周长为AE＋EF＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝48.过点D作DE⊥AB于点E，∵BD平分∠ABC，∴CD＝DE，在△BCD与△BED中，∠DBC＝∠DBE∠C＝∠BED＝90°BD＝BD，∴△BCD≌△BED(A.A.S.)，∴BC＝BE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝CD，∴AB＝BE＋AE＝BC＋CD9.过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠AED＝∠CFD＝90°，∵在△AED和△CFD中，AD＝CDDE＝DF，∴△AED≌△CFD(H.L.)∴∠DAE＝∠BCD，∵∠BAD＋∠DAE＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°10.方法1：在AB上取AE＝AC，连接DE，∵AE＝AC，∠1＝∠2，且AD＝AD，∴△ACD≌△AED(S.A.S.)，∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B，又∵∠AED＝∠B＋∠BDE，∴∠B＝∠BDE，∴EB＝ED，即△BED为等腰三角形.∴BE＝ED＝CD，∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD.方法2：延长AC到E，使CE＝CD，连接DE.则∠CDE＝∠E，∴∠ACB＝∠CDE＋∠E＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ABD≌△AED，∴AB＝AE＝AC＋CD11.如图，在DC上取DE＝BD，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，在△ACE中，∠AEB＝∠C＋∠CAE，又∵∠B＝2∠C，∴2∠C＝∠C＋∠CAE，∴∠C＝∠CAE，∴AE＝CE，∴CD＝CE＋DE＝AB＋BD12.过B作BG∥CD，交EF于G，∵BG∥CD，∴BG∶DF＝BE∶DE，∠AGB＝∠AFC，又∵DE＝DF，∴BG＝BE，又∵BE＝CF，∴BG＝CF，又∵∠GAB＝∠FAC，∴△ACF≌△ABG，∴AB＝AC