第二章 有限差分法的基本概念

第２章有限差分方法的基本概念自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式归结为常微分方程定解问题．一些偏微分方程问题也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解．常微分方程的数值解法为偏微分方程的数值解法提供了可供借鉴的思路．在数值分析课程中我们已经学习了常微分方程初值问题的数值解法．目的：建立一阶常微分方程初值问题的数值解法．000)())(,(utuTtttutfdtdu设初值问题的解析解(理论解)用表示，数值解法的精确解用表示．其中n=1,2,，．nu()nutnnnhtt1常微分方程初值问题的数值解是求上述初值问题的解在点列上的近似值．nnnhtt1),1,0(nun模型()ut常微分方程初值问题的数值解法分为：①单(一)步法：计算时，只用到和，即前一步的值．1nununntt,1②多步法：计算时，除用到和以外，还用到和，即用到前k步的值．pnt)1;1,2,1(kkpupn1nununntt,1数值解法还有显式与隐式方法之分．以显式欧拉(Euler)方法为例),2,1,0(),(1nuthfuunnnn)(2)()()(2nnnntuhtuhtuhtu上述公式称为显式Euler公式．)(ntunu取h的线性部分，并用表示的近似值，),2,1,0(0nnhttn设节点为．)(2))(,()(2nnnntuhxuthftu①在附近把根据Taylor级数展开)(ntunt由给定的初值，则可得到点列上解析解的近似值．nnnhtt1()nut),2,1(nun用表示的近似值，得到)(ntunu),2,1,0(),(1nuthfuunnnn即显式Euler公式:②用差商(或数值微分)代替微分方程))(,()(nnntutftu1()()(,())nnnnututftuth),(1nnnnutfhuu中的导数．即),()(2)()()(11nnnnnttuhhtututu))(,()(tutftu③对微分方程两端积分．11))(,()()()(1nnnnttttnndttutfdttututu用左矩形数值公式计算积分，),2,1,0(),(1nuthfuunnnn)(ntunu略去余项，并用表示的近似值，则得到显式Euler公式:),()(2)()()()(2baabfafabdxxfba))(,(2))(,()()(21ufhtuthftutunnnn即有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简单，直观．虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种数值方法．为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域离散化为网格离散节点的集合．并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程．根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解．§1有限差分格式0,0(1.1)(,0)()uuaxRttxuxfxxR以最简单一维对流方程为例，引入用差分方法求偏微分方程数值解的一些概念，说明求解过程和原理．考虑对流方程的初值问题0,1,2,0,1,2,(,)(,).00njjnxtDttnnxxjhjxtjnh网格剖分可以采用两组平行于轴和轴的直线形成的网覆盖区域，它们的交点称为网格结点（节点）节点记为间距称为空间步长，间距称为时间步长．1网格剖分(区域的离散化）xt0(,)jnxt000000()0000()(,)1(,)()()()()()()()(1.1)!()()(())()nnnnnnfxxUxnxUxfxfxfxxxfxxxRxnRxRxoxxxx设在的某个邻域内具有直到阶的导数，则有是余项，且．2用Taylor级数展开方法建立差分格式1111(1.1)(,)(,)(,)(,)(),((1.2)(,)(,)(,)(),((1.3)(,)(,)(,)(),((1.4)(,)(jnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjujnuuxtuxtuxtOtuxtuxtuxtOhhxuxtuxtuxtOhhxuxtux设是方程的解，对于任何节点，的微商与差商之间的关系式向前差商）向前差商）向后差商）12,)(,)(),((1.5)2njntuxtOhhx中心差商）(1.1)(,)(,)0,(1.6)jnjnuuxtauxttx由于是方程的解，所以满足11(1.2)(1.3)(,)(,)(,)(,)(),(1.7)jnjnjnjnuxtuxtuxtuxtahOh因此从和得到110(1.8)(,)nnnnjjjjnjjnhuuuuahuuxt为了保证逼近精度要求，实际取步长与是较小的量，特别在进行理论分析的极限过程中它们都趋向于零．这样可以用方程近似代替，其中表示的近似值．11(1.8)(),0,1,2,0,1,2,,(1.9)/nnnnjjjjuuauujnh将改写成便于计算的形式这里称为网格比．0110(1.8)(1.9)(1.1)(1.1)(),0,1,2,,(1.10)(1.1)0((1.11)jjjnnnnjjjjjjuffxjuuuuahuf和称为方程的（有限）差分方程．问题中的初始条件的离散形式是初值问题的差分格式显式右偏格式）n+1njj+1xtn=3n=2n=1n=0j=012345显格式：计算时不用n+1层还未计算出的节点．两层格式：计算n+1层时只用到n层数据，前后仅涉及到两个时间层．1nju1101110(1.1)0((1.12)0(1.13)2nnnnjjjjjjnnnnjjjjjjutuxuuuuahufuuuuahuf对同一微分方程可以建立种种不同形式的差分格式．在中对采用向前差商，对采用向后差商和中心差商得左偏格式）（中心格式）22,0(1.14)(,0)()uuaxRttxuxfxxR考虑扩散方程的初值问题1112020(1.15)0,1,2,,nnnnnjjjjjjjuuuuuahufj差分格式：3积分方法1{(,)|,}22jjnnhhDxtxxxttt选定积分区域oxtj-1jj+1nn+122122222[(,)(,)][(,)(,)][(,)(,)][(,)(,hjhjnnDDxnnxthhjjtnjnjhnjnjuudxdtadxdttxutxutxdxuuatxtxdtxxutxutxhuuatxtxxx对(1.14)积分有：应用数值积分可得：2)]h111212211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)[(,)(,)][(,)2(,)(,)]jjjjxhnjnnjnjxxhnjnnjnjxnjnjnjnjnjuutxhtxdxutxutxxxuutxhtxdxutxutxxxutxutxhautxutxutx11122nnnnnjjjjjuuuuuah即：积分方法也称为有限体积法．4隐式差分格式220,0(1.16)(,0)()0(0,)(,)00uuaxlttxuxfxxlutultt考虑扩散方程的初边值问题11120020(1.17)0,...,,0,0,0nnnnnjjjjjjjnnJuuuuuahufjJuun差分格式：有限差分格式在新时间层上包含有多于一个节点，这种有限差分格式称为隐式格式．适用于求解微分方程的初边值问题或者满足周期条件的初值问题．11100(12)0,...,,(1.18)0,0,0nnnnjjjjjjnnJauauauuufjJuun写成下列等价形式：1012112121212,,,...,TnnnnnJaaaaaAaaaaaAUUUfff121,,...,TnnnnJUuuu令，则上式可写为：严格对角占优，对称三对角阵；可用追赶法求解；显格式方便，工作量小（不用求解线性方程组）；隐格式求解线性方程组，但隐格式一般数值稳定，且可采用较大的时间步长．00,nhjhLuLLuL对于齐次问题，可以将微分方程和差分方程记为，　其中是微分算子其中是相应的差分算子§2有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性1截断误差11(1.1)(1.8)nnnnjjjjnhhjuuLLuatxuuuuLLuah方程微分算子为格式相应差分算子为(,)(,)(,)(2.1)hjnhjnjnuLLuxtLuxtLuxt设是所讨论的微分方程的充分光滑的解，将算子和分别作用于，记两者在任意的结点处的差为Ｔ，即Ｔ差分格式的截断误差是指对Ｔ的估计．11(1.8)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)()()hjnjnjnjnjnjnjnjnLuxtLuxtuxtuxtuxtuxtahuxtuxtatxOh讨论格式的截断误差即Ｔ()()()()()qpohtqxhppqptxh　　我们也用“精度”一词说明截断误差．一般，如果一个差分格式的截断误差Ｔ，就说差分格式对时间是阶精度的，对空间是阶精度的．特别，当时，说差分格式是阶精度的．差分格式(1.13),(1.15),(1.17)都是对一阶精度，对二阶精度．而差分格式(1.11)是一阶精度格式．,,,,,,,,,,,,11,,,2211,,,22txtxtxvxtvxttvxtvxtvxxtvxtvxtvxtvxttvxtvxtvxxtvxtvxttvxttvxtvxxtvxxt定义差分：一阶向前差分一阶向后差分一阶中心差分2,,11,,22,2,,xxxxvxtvxtvxxtvxxtvxxtvxtvxxt类似可定义高阶差分，如：1,(),21[,,]2oxxxvxtvxtvxxtvxxt两个区间上的中心差分：232323222,,,11,,,...261,,2tuxtuxtuxtuuuxtxtxttttuuxtxtt