《概率论 浙大版》 - 平稳随机过程

平稳过程是很重要、应用很广的一类过程，工程领域中所遇到的过程很多可以认为是平稳的。例如：实际场合中的各种噪声和干扰，都可以认为是平稳的。平稳过程是随机过程重点内容之一。本章在相关理论范围内主要讨论平稳过程的数字特征；各态历经性；相关函数的性质和功率谱密度。第十四章平稳随机过程第一节平稳随机过程的概念一、严平稳随机过程及其数字特征定义：随机过程若对整数n任意的以及任意的实数且都有,}),({TttXTtttn,,,21ThThththtn,,,21n维随机变量则称此过程为严平稳(随机)过程。)(,),(),(21ntXtXtX)(,),(),(21htXhtXhtXn和具有相同的分布。,2,1,,,;,,,,,;,,2112121nhththtxxFtttxxxFnnnnnn即严平稳的含义：过程的统计特性与所选取的时间起点无关。换句话说，整个过程的统计特征不随时间的推移而变化。若随机过程为连续型的，定义也等价于其密度函数满足：nntttxxxf,,,;,,2121hththtxxfnn,,,;,,211利用定义式，令有1thhtxftxf111111;;hthtxxfttxxf2121221212,;,,;,记则上式化为：12tt;,,;,21221212xxfttxxf11110;xfxf12212,0;,ttxxf下面来考虑平稳过程的一、二维概率密度及数字特征。这表明，严平稳过程的一维概率密度与时间无关，二维概率密度只与的时间间隔有关，而与时间起点无关。21,tt12tt由此可导出严平稳过程的数字特征：XdxxfxtXE11112111212XdxxfxtXE211121XXdxxfxtXD][tXtXE)(XR2121221;,dxdxxxfxxXXEXtXt由一、二维概率密度的特性可知，严平稳过程的均值函数，均方值函数和方差函数（如果存在）均为常数；而自相关函数及协方差函数只依赖于参数间距而与起点无关。22)0()0(XXXXRC令0得：XXXCR2二、宽平稳随机过程要确定一个随机过程的概率分布函数族，并且判定严平稳条件式对一切n成立，这在实际上是很困难的，而了解它的某些数字特征却是可能的，因而工程上根据实际需要往往只在相关理论范围内考虑平稳过程问题。所谓相关理论是指：只限于研究随机过程一、二阶矩的理论。定义:若随机过程满足TttX,则称为宽平稳过程。tXXtXE是常数；XRtXtXE仅依赖τ，而与ｔ无关；（或称广义平稳过程。）)]([2tXE二阶矩存在。对任意整数，有特别，若},2,1,0),({nnXXnXE是常数；XRnXnXE仅依赖τ，而与n无关；则称为平稳序列。)(nX顺便指出：今后凡是提到“平稳过程”除特别指明外，通常都是指宽平稳过程。但正态过程例外，因为它的概率密度函数可由均值和协方差矩阵完全确定。所以，如果均值，自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移而变化。由于宽平稳过程的定义只涉及到一、二维概率密度有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要均方值有界，就是宽平稳的。但反之则不一定。例：设是实的互不相关随机变量序列,且},2,1,0,{nXn,][,0][2nnXDXE试讨论随机序列的平稳性。,0][nXE解:因为][),(nnXXXEnnR而0,)()(0,])([2nnnXEXEXE0,00,)]([)(2nnXEXD0,00,2其中,为整数，故随机序列的均值为常数,相关函数仅与有关。因此，它是平稳随机序列。例：设随机过程式中,为常数，是在上服从均匀分布的随机变量,证明是平稳过程。)cos()(0tatX0,a)2,0()(tX证:由于)2,0(~U,0)2,0(,21)(f其它其密度函数为：)]cos()cos([000tataE021)cos()]([200dtatXE是常数)cos(202adtta20000221)cos()cos(),(ttRX因此,是平稳过程。)(tX仅依赖于。例：设是一周期为T的函数，是在上服从均匀分布的随机变量。称为随机相位周期过程。试讨论它的平稳性。)(tS),0(T)()(tStX解：的密度函数为：,0)2,0(,1)(Tf其它的均值函数)(tX)]([)]([tSEtXEdTtST01)(dSTtTt)(1dSTtXET0)(1)]([常数;利用的周期性,可得)(S而自相关函数)]()([),(tXtXEttRX)]()([tStSEdTtStST01)()(dSSTtTt)()(1)()()(1),(0XTXRdSSTttR利用的周期性,可得)()(SS自相关函数仅与有关。因此,是平稳过程。)(tX21})({})({ItXPItXP㈡在任意区间内信号变化的次数服从泊松分布),(ttN),[tt若随机过程满足下列条件，则称作为随机电报信号。)},(,)({ttX例：随机电报信号㈠相继取值+I或-I,且,2,1,0,!)(}),({kekkttNPk也即在区间，电报信号变化次数为泊松过程。}0,)({ttN),0[tt+I-IX(t)试讨论的平稳性。)]([tXE解:的均值函数)(tX})({)(})({ItXPIItXPI022II是常数若在内变化偶数次，则和必同号,且乘积为；若变号奇数次,则乘积为。)(tX),[tt)(tX)(tX2I2I而自相关函数：)]()([),(tXtXEttRX即：),(,),(,)()(22ttNIttNItXtX偶数奇数})()({22ItXtXPI})()({)(22ItXtXPI02}2),({nnttNPI02}12),({)(nnttNPI由泊松分布的定义，得:enIttRnnX022)!2()(),(enInn0122)!12()(2202!)(eIkeInk所以是平稳过程。}0,)({ttX012022)!12()()!2()(nnnnnneI自相关函数仅与有关。的相关函数图如下：)(tX0)(XR2I例:证明泊松过程是平稳增量过程。证：设为泊松过程，强度为，对任意实数，}0,)({ttNh只需证明是平稳过程。)(tX)()()(tNhtNtX令：与无关；事实上)]()([)]([tNhtNEtXEhtht)(t而)]()([),(tXtXEttRX)]}()()][()({[tNhtNtNhtNE为简单起见，不失一般性，可设0当时；见图(a)hthttht(a)由于区间与区间不相重叠，根据是独立增量，),(htt),(htt)(tN)]()([)]()([),(tNhtNEtNhtNEttRX当时；见图(b)hthttht(b))(tX的自相关函数为：)(tX的自相关函数为：22h)]}()([)]()({[),(tNhtNtNhtNEttRXthttht(b))]()()()({[tNtNtNhtNE)]}()()()([tNhtNhtNhtN)]()([)]()([htNhtNEtNhtNE)()([)]()([htNhtNEtNtNE2)]()([tNhtNE)]()([)]()([tNhtNEtNtNE222222)]()([)()(hhhh22)(hh可见hhhhhttRX,)(,),(2222是的函数，与无关，所从平稳。即t)(tX}0,)({ttN是平稳增量过程。第二节各态历经性第三节相关函数的性质前面已经指出，作为随机过程的基本数字特征是均值函数和相关函数。对平稳过程而言，由于它的均值函数是常数，经中心化后为零，所以基本特征实际就是相关函数。0][022XXtXER性质１即平稳过程的均方值可以由自相关函数，令得到，后面我们将指出代表了平稳过程的“平均功率”。0XR0tXtXERX依据这个性质，在实际问题中只需计算或测量在的值。XR0XRXXRR性质２是偶函数，即满足这是因为相关函数具有对称性XRtXtXE即：0]2[22tXtXtXtXE0][][22XRtXEtXE0XXRR性质3对于平稳过程，有tX证：0][][2][22tXEtXtXEtXE由02tXtXE2|()|(0)XXXCC0)(202XXRR0XXRR代入上述不等式得：可见，当时，平稳过程的相关函数具有最大值。0此性质还可由施瓦兹不等式推得：0XXCC2XXC或对协方差函数，不难得到相同的结论：22]}[{)]([tXtXERX2]0[XR][][22tXEtXE0XXRR事实上非负定，即对任意实数和任意实函数，XRn,,,21g性质４jinjijiXggR1,事实上01,jinjijiXggR有jinjijiggXXE1,021niiigXE对于平稳过程而言，自相关函数的非负定性是最本质的，这是因为在理论上可以证明，任一连续函数，只要有非负定性，那么该函数必是某平稳过程的自相关函数。TtXtXETRX事实上性质５若平稳过程满足条件：则称它为周期平稳过程其中为过程的周期，那么，是以为周期的函数。)(tX)()(TtXtX)(XRTTXRtXtXE第四节平稳随机过程的功率谱密度对随机过程作截尾随机过程tX则存在傅氏变换TtTttXtXT,0,)(dtetXTFtiTX,dtetXtiTT一、功率谱密度的定义利用巴塞伐等式及傅氏反变换可得：dttXdttXTTT22因为是随机过程，故上式两边都是随机变量，要求取平均值，这时不仅要对时间区间取平均，还要求概率意义下的统计平均，于是有：tX],[TTdTFX2,21TTTdttXTE221lim