离散数学 图论

第10章图论(GraphTheory)第十章图论(GraphTheory)10.1图的基本概念(Graph)10.2路与图的连通性(Walks&ConnectivityofGraphs)10.3图的矩阵表示(MatrixNotationofGraph)10.4最短链与关键路（Minimalpath）10.5欧拉图与哈密尔顿图(EulerianGraph&Hamilton-ianGraph)10.6平面图(PlanarGraph)10.7树与生成树(TreesandSpanningTrees)10.8二部图（bipartitegraph）第10章图论(GraphTheory)10.1图的基本概念10.1.1图的基本概念10.1.2图的结点的度数及其计算10.1.3子图和图的同构第10章图论(GraphTheory)图10.1.1哥尼斯堡七桥问题10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)10.1.1图现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。【例10.1.1】a，b，c，d4个篮球队进行友谊比赛。为了表示４个队之间比赛的情况，我们作出图10.1.1的图形。在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队，称之为结点。如果两队进行过比赛，则在表示该队的两个结点之间用一条线连接起来，称之为边。这样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。1.图的定义10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)图10.1.1如果图10.1.1中的４个结点a，b，c，d分别表示４个人，当某两个人互相认识时，则将其对应点之间用边连接起来。这时的图又反映了这４个人之间的认识关系。10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)定义10.1.1一个图G是一个序偶〈V(G),E(G)〉，记为G＝〈V(G),E(G)〉。其中V(G)是非空结点集合，E(G)是边集合，对E(G)中的每条边，有V(G)中的结点的有序偶或无序偶与之对应。若边e所对应的结点对是有序偶〈a,b〉,则称e是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。若边e所对应的结点对是无序偶(a,b),则称e是无向边。这时统称e与两个结点a和b互相关联。10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)【例10.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b)。则图G可用图10.1.2(a)或(b)表示。我们将结点a、b的无序结点对记为(a，b），有序结点对记为〈a，b〉。一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)图10.1.210.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)图10.1.210.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)2.图G的结点与边之间的关系邻接点:同一条边的两个端点。孤立点:没有边与之关联的结点。邻接边:关联同一个结点的两条边。孤立边:不与任何边相邻接的边。自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，v）或〈v，v〉）。平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)如例10.1.1中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝，边集E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝，其中e1＝（a，b），e2＝（a,c），e3＝（a，d），e4＝（b,c），e5＝（c,d）。d与a、d与c是邻接的，但d与b不邻接，边e3与e5是邻接的。10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)【例10.1.3】设图G＝〈V,E〉如图10.1.3所示。这里V＝｛v1，v2，v3｝，E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝，其中e1=(v1,v2)，e2=(v1，v3)，e3=(v3,v3),e4=(v2,v3),e5=(v2，v3)。在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即自回路；边e4和e5都与结点v2、v3关联，即它们是平行边。10.1图的基本概念图10.1.3第10章图论(GraphTheory)3.图G的分类(1)按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点,m条边的图;特别地,(n,0)称为零图,(1,0)图称为平凡图。(2)按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简单图;多重图:含有平行边的图（如图10.1.3）；线图:非多重图称为线图；简单图:不含平行边和自环的图。10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)G1、G2是多重图G3是线图G4是简单图第10章图论(GraphTheory)(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图;有向图：每条边都是有向边的图称为有向图（图10.1.4(b))；无向图：每条边都是无向边的图称为无向图；混合图：既有无向边,又有有向边的图称为混合图。(4)按G的边旁有无数量特征分为加权图、无权图(如图10.1.4);10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)图10.1.4(5)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn(如图10.1.5)和不完全图(如图10.1.6)。10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)完全图：任意两个不同的结点都邻接的简单图称为完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。图10.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，K4有６条边。容易证明Kn有条边。(1)2nn10.1图的基本概念图10.1.6图10.1.5K3与K4示意图第10章图论(GraphTheory)例213213有向完全图无向完全图第10章图论(GraphTheory)给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成一个具有同样结点的完全图,方法是把那些缺少的边添上。定义10.1.2设G＝〈V,E〉是一个具有n个结点的简单图。以V为结点集，以从完全图Kn中删去G的所有边后得到的图（或由G中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图）称为G的补图，记为。例如，零图和完全图互为补图。G10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)G相对于Kn的补图是下图中的G第10章图论(GraphTheory)第10章图论(GraphTheory)互为补图互为补图互为补图第10章图论(GraphTheory)【例10.1.4】（拉姆齐问题）试证在任何一个有６个人的组里，存在３个人互相认识，或者存在３个人互相不认识。我们用６个结点来代表人，并用邻接性来代表认识关系。这样一来，该例就是要证明：任意一个有６个结点的图G中，或者有３个互相邻接的点，或者有３个互相不邻接的点。即，对任何一个有６个结点的图G，G或中含有一个三角形（即K3）。G10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)证明:设G＝〈V,E〉，|V|＝6，v是G中一结点。因为v与G的其余５个结点或者在中邻接，或者在G中邻接。故不失一般性可假定，有３个结点v1，v2，v3在G中与v邻接。如果这３个结点中有两个结点（如v1，v2）邻接，则它们与v就是G中一个三角形的３个顶点。如果这3个结点中任意两个在G中均不邻接，则v1，v2，v3就是中一个三角形的３个顶点。GG10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)10.1.2图的结点的度数及其计算我们常常需要关心图中有多少条边与某一结点关联，这就引出了图的一个重要概念——结点的度数。10.1图的基本概念定义:在有向图中,以v为终点的边数称为结点v的入度，记为;以v为始点的边数称为结点v的出度，记为。结点v的入度与出度之和称为结点v的度数，记为d(v)或deg(v)。()dv()dv第10章图论(GraphTheory)定义:在无向图中，图中结点v所关联的边数(有环时计算两次)称为结点v的度数，记为d(v)或deg(v)。}|)(min{)(}|)(max{)(VvvdGVvvdG最小度最大度第10章图论(GraphTheory)例245136G1顶点2入度：1出度：3顶点4入度：1出度：0例157324G26顶点5的度：3顶点2的度：4第10章图论(GraphTheory)定理10.1.1无向图G＝〈V,E〉中结点度数的总和等于边数的两倍，即证明:因为每条边都与两个结点关联，所以加上一条边就使得各结点度数的和增加2，由此结论成立。定义：无向图中，如果每个结点的度都是k,则称为k-度正则图。d()2VE10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)推论:无向图G中度数为奇数的结点必为偶数个。证明:设V1和V2分别是G中奇数度数和偶数度数的结点集。由定理10.1.1知由于是偶数之和，必为偶数，而2|E|也为偶数，故由此|V1|必为偶数。1deg()VEvvVvVv2)deg()deg(212)deg(Vvv10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)定理10.1.2在任何有向图G＝〈V,E〉中，有()()vVvVdvdvE图10.1.4第10章图论(GraphTheory)10.1.3子图和图的同构1.子图在研究和描述图的性质时，子图的概念占有重要地位。定义10.1.5设有图G=〈V,E〉和图G′=〈V′,E′〉。1)若V′V，E′E，则称G′是G的子图。2)若G′是G的子图，且E′≠E，则称G′是G的真子图。第10章图论(GraphTheory)356例245136图与子图第10章图论(GraphTheory)3)若V′=V，E′E，则称G′是G的生成子图。图10.1.7给出了图G以及它的真子图G1和生成子图G2。图10.1.7图G以及其真子图G1和生成子图G210.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)例画出K4的所有非同构的生成子图。第10章图论(GraphTheory)2221112222222222222,,[,][][]GVEGVEuvuvEGVGVGVGEGEEEGV结点定义：设图是图的子图。若对任意结点和，如果，则由唯一地确定，并称是，记为或。如果无孤立结点，且集合的诱导子图边集的诱导子图由所唯一确定，则称是，记为或。第10章图论(GraphTheory)2.图的同构10.1图的基本概念试观察下面各图有何异同？第10章图论(GraphTheory)图10.1.8同构的图图10.1.910.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)定义10.1.6设有图G=〈V,E〉和图G′=〈V′,E′〉。如果存在双射ｇ：V→V′，使得e=(u,v)∈Eiffe′=(ｇ(u),ｇ(v))∈E′，且(u，v)与(ｇ(u),ｇ(v))有相同的重数，则称G与G′同构。记作G≌G′。注：由同构的定义可知，不仅结点之间要具有一一对应关系，而且要求这种对应关系保持结点间的邻接关系。对于有向图的同构还要求保持边的方向。10.1图的基本概念第10章图论(GraphTheory)【例10.1.5】考察图10.1.9中的两个图G＝〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉。显然，定义ｇ：V→V′,ｇ(vi)＝vi′,可以验证ｇ是满足定义10.1.6的双射，所以G≌G′。10.1图的基本概念图10.1.9第10章图论(GraphTheory)一般说来，证明两个图是同构的并非是轻而易举的事情，往往需要花些气力。请读者证明下图中两个图是同构的。第10章图论(GraphTheory)第10章图论(GraphTheory)根据图的同构定义，可以给出图同构的必要条件如下：(1)结点数目相等；(2)边数相等；(3)度数相同的结点数目相等。但这仅仅是必要条件而不是充分条件。第10章图论(GraphTheory)下图中的(a)和(b)满足上述三个条件，然而并不同构。因为在