2.4现代大地控制测量(同济大学)

§2.4空间大地直角坐标系及其转换模型2.4.1空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系1、X、Y、Z与B、L、H间的关系空间坐标系的定义：Z//自转轴，X位于赤道面，指格林尼治天文台，Y指东，构成右手系。大地坐标系的定义：B为过坐标点椭球面的法线与赤道面交角、L为过坐标点的子午线与起始子午线的夹角，H为点沿法线到椭球面的距离。大地高与正高、正常高之间的关系：HNHHNXYZLBOPKPPQ2.4.1空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系如图所示：XYZLBOPKPPQBeNLBNLBNZYXPPOsin1sincoscoscos2rBHLBHLBHHPPsinsincoscoscosnrBHeNLBHNLBHNZYXPPPOOPsin1sincoscoscos2rrr12.4.1空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系2、由X、Y、Z计算B、L、H的迭代解法计算L：2211sintanYXYXYL迭代计算B：22211sintanYXBeNZBiii迭代初值为：2210tanYXZB最后计算H：NBYXeNBZHsec1csc2222.4.1空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系3、X、Y、Z与B、L、H间的微分关系由前面式微分得；1dHdLdBdHdLdBBBHMLBLBHNLBHMLBLBHNLBHMdZdYdXAJsin0cossincoscoscossinsincoscossincoscossinBBLBLLBLBLLBsin0cossincoscossinsincoscossincossinA1000cos000BHNHMJ其中：2.4.1空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系顾及A是正交阵，J是对角阵，得：dZdYdXBLBLBBHNLBHNLHMBHMLBHMLBdZdYdXdZdYdXdHdLdBTsinsincoscoscos0coscoscossincossinsincossin11AJAJ2.4.1空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系4、B、L、H与椭球元素a,e2之间的微分关系若顾及椭球元素的变化，则前面的微分公式变为：2dedadHdLdBdZdYdXBAJ其中：222222222coscossin12sincossinsincos2coscossincoscosWBWBNaBeNWLBBNaLBNWLBBNaLBNB2.4.1空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系由上式可得：211dedadZdYdXdHdLdBTTBAJAJ若空间坐标系的原点和坐标轴指向保持不变，即椭球的定位与定向不变，则：0dZdYdX2.4.1空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系上式简化成大地坐标与椭球间的微分关系：222222212sin002sin2sincossincosdedaBNWHMWBeBBNHMWBBededadHdLdBTBAJ2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换两个右手旋转坐标系之间的旋转角，取逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，旋转矩阵为正交阵，可表示为：XXXXXXcossin0sincos0001RYYYYYYcos0sin010sin0cosR1000cossin0sincosZZZZZZR2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换方法一：XYZXYZOXYY将X’、Y’、Z’转换到X、Y、Z坐标系：先绕Z’将X’旋转到XOY平面与X’OY’平面的交线X”，再绕X”轴将Z’旋转到Z轴，最后再绕Z轴，将X”旋转到X轴方向。由于三坐标轴的正交关系，经最后一次旋转的Y”’必位于Y轴上。2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换坐标变换公式为：XYZXYZOXYYZYXZYXZZXXZZ12RRR12ZZXXZZRRRR旋转矩阵：是正交矩阵。2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换若、分别表示X与X’和Y与Y’之间的夹角，则有：XZZZZXZZZZcossinsincoscoscoscoscoscossinsincos21212121若表示Z与Z’之间的夹角，则有：Xcoscos2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换方法二：XYZXYZOXYZYZXZXY将X’、Y’、Z’转换到X、Y、Z坐标系：先绕X’将Y’旋转到YOZ平面与Y’OZ’平面的交线Y”，再绕Y”轴将Z”旋转到Z轴，最后再绕Z轴，将X”旋转到X轴方向。由于三坐标轴的正交关系，经最后一次旋转的Y”必位于Y轴上。2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换坐标变换公式为：ZYXZYXXXYYZZRRRXXYYZZRRRR其中，旋转矩阵：是正交矩阵。XYZXYZOXYZYZXZXY2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换若、、分别表示X与X’、Y与Y’和Z与Z’之间的夹角，则有：YXZYXZXZYcoscoscoscossinsincoscoscoscoscoscos2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换当旋转角是小角度时，可略去其二次项，取：1cos,sin111XYXZYZR旋转矩阵简化为：ZYXZYXXYXZYZ111坐标转换模型简化为：2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换旋转矩阵是正交阵，满足条件：IRRT若：333231232221131211rrrrrrrrrR则根据正交条件，得：111000233232231223222221213212211332332223121331332123111231322122111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr2.4.2空间直角坐标系之间的旋转变换因此，旋转矩阵中只有5个独立未知数。在进行坐标转换时，可以直接以旋转矩阵中的9个元素为未知数，加上6个约束条件直接解算。求得旋转矩阵元素后，进行坐标转换，不必解算旋转角。这样可避免大旋转角时，线性化过程的复杂形式。习题1、若采用克拉索夫斯基椭球，已知大地坐标：计算三维空间坐标，并反算检核。2、在上题中，大地经纬度和大地高分别变化了用微分公式计算三维空间坐标的变化量。3、在球近似下，给出球心经纬度和高程与三维空间坐标的微分关系式。4、若要求相对误差小于10-7，则当旋转角超过多少时，不能采用略去二次项的线性近似。mHLB391.1084015.5013121,1283.16823100mHLB53.02.0