5-6轴向拉伸与压缩超静定结构

1§５－6拉压超静定问题及其处理方法静定结构：约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得2约束反力（轴力）不能由静力平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定度（次）数：约束反力（轴力）多于独立平衡方程的数独立平衡方程数：平面一般力系：3个平衡方程平面汇交力系：2个平衡方程平面平行力系：2个平衡方程平面共线力系：1个平衡方程目录3C'1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量△Li，如图1；变形图近似画法，图中弧之切线。小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2P1L2LC42、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系1LuB解：变形图如图2，B点位移至B'点，由图知：sinctg21LLvBABCL1L21L2LBuBvB'P图25一、拉、压超静定问题目录6目录7试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？FPDBACE(a)静定。未知内力数：3平衡方程数：3(b)静不定。未知力数：5平衡方程数：3静不定次数=2FPDBAC8FP(c)静不定。未知内力数：3平衡方程数：2静不定次数=19[例1]设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、L3=L；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321PNNNYPAN1N3N21011111AELNL33333AELNL几何方程——变形协调方程：物理方程——弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:cos31LLcos33331111AELNAELN333113333331121121cos2;cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L11平衡方程；几何方程——变形协调方程；物理方程——弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3、超静定问题的处理方法步骤：12[例2]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许可载荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:PPy4N1N213PPy4N1N2解平衡方程和补充方程，得:PNPN72.0;07.0211110.07NPA求结构的许可载荷：方法1:角钢截面面积由型钢表查得:A1=3.086cm22220.72NPA2222/0.7225012/0.721042kNPA111/0.07308.6160/0.07705.4kNPA14111/0.8mmLE222/1.2mmLE所以在△1=△2的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷：07.007.0111ANPkN4.70507.06.308160另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的面积变为25mm2，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:15[例3]图示桁架，3根杆材料均相同，AB杆横截面面积为200mm2，AC杆横截面面积为300mm2，AD杆横截面面积为400mm2，若F=30kN，试计算各杆的应力。32lllADAB列出平衡方程：0xF0320130cos30cosNNNFFFFFFFNNy030130sin30sin0即：1323321NNNFFF2231FFFNN列出变形几何关系，则AB、AD杆长为l解：设AC杆杆长为F30ABC30D123FAxy1NF2NF3NF目录16即：1323321NNNFFF2231FFFNN列出变形几何关系F30ABC30D123xyFA1NF2NF3NFxyAAxy将A点的位移分量向各杆投影.得cossin1xylxl2cossin3xylcos2213lll变形关系为2133lll代入物理关系22113333232EAlFEAlFEAlFNNN322213NNNFFF整理得目录17F30ABC30D123xyFA1NF2NF3NFxyAAxy1323321NNNFFF2231FFFNN322213NNNFFF联立①②③，解得：kN6.34323FFNMPa6.863（压）MPa8.262kN04.8232FFN（拉）MPa1271kN4.253221FFN（拉）目录18目录19目录20二、装配应力——预应力装配应力：超静定结构中才有装配应力1、列出独立的平衡方程2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程FFFFNNN3210221NNFF2312lllEAlFlN11EAlFlN22EAlFlN33lEAFFFNNN2312目录§2-9装配应力和温度应力21、几何方程解：、平衡方程:2、静不定结构存在装配应力。0sinsin21NNX0coscos321NNNY13cos)(LL1、静定结构无装配应力。如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA1322cos)(33331111AELNAELN、物理方程及补充方程：、解平衡方程和补充方程，得:/cos21cos33113211321AEAEAELNN/cos21cos23311331133AEAEAELNA1N1N2N3AA13L2L1L231、静定结构无温度应力。三、应力温度[例4]如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i;△T=T2-T1)ABC12CABD123A11L2L3L2、静不定结构存在温度应力。24CABD123A11L2L3L、几何方程解：、平衡方程:cos31LLiiiiiiiLTAELNL、物理方程：AN1N3N212sinsin0XNN0coscos321NNNY25CABD123A11L2L3L、补充方程cos)(333333111111LTAELNLTAELN解平衡方程和补充方程，得:/cos21)cos(331132311121AEAETAENN/cos21cos)cos(233113231113AEAETAEN26aaaaN1N2[例5]如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固定,杆的上下两段的面积分别=cm2，=cm2，当温度升至T2=25℃时,求各杆的温度应力。(线膨胀系数=12.5×；弹性模量E=200GPa)C1106、几何方程：解：、平衡方程：021NNY0NTLLL27、物理方程解平衡方程和补充方程，得:kN3.3321NN、补充方程2211;2EAaNEAaNLTaLNT22112EANEANT、温度应力MPa7.66111ANMPa3.33222AN