自动控制原理第六版课件 第二章

本章重点、难点与考点一、重点：传递函数、结构图变换与简化、梅逊公式二、难点：传递函数含义及性质的理解、结构图的简化、梅逊公式的应用等第二章控制系统的数学模型三、考点：1、求实际系统的微分方程、动态框图和传递函数；2、求复杂系统的传递函数；3、把方框图变换成信号流图。AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型2．1引言1．关于数学模型⑴定义：用以描述控制系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。有静态模型与动态模型之分。（Page21前言）⑵形式：时域模型（t）：微分/差分/状态方程等；复域模型（s=σ+jω）：传递函数，结构图，信号流图；频域模型（ω）：频率特性。⑶特点及建模原则：（略）AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型2．建模方法及步骤⑴方法：分析法（主）和实验法；⑵主要步骤：※确定系统的输入、输出变量；※从输入端开始，依次列写各元件/环节的运动方程式（如微分方程）；※消去中间变量，并将其化为标准注形式。注：标准形式：与输入量有关的各项放在方程右边，与输出量有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，并将方程中的系数通过系统的参数化具有一定物理意义系数的一种表达形式。AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型2．2实例分析例题1：P21例题2-1例题2：RC无源网络电路如下图所示，试以u1为输入量，u2为输出量列写该网络的微分方程式。i2C1C2R2R1u1u2i1解：⑴u1为输入量，u2为输出量；⑵设回路电流分别为i1，i2，如图所示；则有：i1R1+｛∫（i1－i2）dt｝/C1=u1i2R2+(∫i2dt)/C2=｛∫（i1－i2）dt｝/C1(∫i2dt)/C2=u2AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型⑶消去中间变量i1，i2后，化为标准形式：R1R2C1C2u2〞+(R1C1+R1C2+R2C2)u2′+u2=u12．3非线性数学模型线性化1．线性系统的特性：1）能够用线性微分方程来描述。2）不同类型的元件或系统可以具有相同形式的数学模型。这样的系统称为相似系统。3）可应用叠加原理，即具有可叠加性和均匀性（齐次性）。2．小偏差线性化（自学）AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型2．4线性系统的传递函数1.线性定常系统微分方程的求解：⑴．目的：寻求系统输出随时间t变化的规律。（求输出响应）⑵．方法：※经典法：微分方程-------时域解c（t）※拉氏变换法：微分方程-------复域解C（s）※计算机求解法。例题1：右图所示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型解:设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，写出电路微分方程rCCuudtduT其中：T=RC,且000)(0tuttur)()()]0()([sUsUussUTrCCC)0(1)(11)(CrCuTsTsUTssU故有解得由于Ur(s)=uo/s,故TsuTssusUCOC110)111()(TtCTtOCeueutu)0()1()(所以urAutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型例题2：在下图中，已知L=1H，C=1F，R=1Ω，uc（0）=0.1V,i(0)=0.1A,ur(t)=1V。试求电路在通电瞬间uc（t）的变化规律。(P26例2-6)uc（t）ur（t）CLR解：在教材P21例题2-1中已求得该电路的微分模型：tutudttduRCdttudLCrccc22对上式两边求拉氏变换：LC[s2Uc（s）-suc（0）-uc′（0）]+RC[sUc（s）-uc（0）]+Uc（s）=Ur（s）AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型由于uc′（0）=uc′（t）t=0=i（0）/C将已知各条件代入后有：（s2+s+1）Uc（s）=Ur（s）+0.1(s+2)121.01122ssssUsssUrC即通电瞬间,ur（t）=1或Ur（s）=L[ur（t）]=1/s121.011122sssssssUC故再对上式两边求反拉氏变换：=1+1.15e-0.5tsin(0.866t-120°)+0.2e-0.5tsin(0.866t+30°)1)2(1.01112211ssssssLsULtuCcAutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型例题3：已知某系统的数学模型为)()(2)(2)(2txtydttdydttyd其中x（t）,y（t）分别为输入、输出量,且知x（t）=δ(t),y’(0-)=y(0-)=0，求y（t）的表达式.解:对微分方程两边求拉氏变换：[s2Y（s）-sy(0-)-y′(0-)]+2[sy（s）-y(0-)]+2Y（s）=X（s）代入已知条件，注意X（s）=L[x（t）]=L[δ(t)]=1整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）故y（t）=L-1[Y（s）]=L-1[1/（s2+2s+2）]=(1/2j)L-1[1/（s+1-j）-1/（s+1+j）]=(1/2j)[e-（1-j）t-e-（1+j）t]=e-tsintAutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型⑶．拉氏变换法求解微分方程的过程：P27※考虑初始条件，对微分方程中的各项求拉氏变换；※求取输出量的拉氏变换式；※再求取输出量的拉氏变换式的反拉氏变换，求解之。2.传递函数⑴定义:在零初始条件*下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。表示为：)()()]([)]([)(sRsCtrLtcLSG*零初始条件：指当t﹤0时，系统输入r（t）、输出c（t）以及它们的各界阶导数均为零，即：r(0-)=c(0-)=r′(0-)=c′(0-)=…=r（n）(0-)=c（n）(0-)=0AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型⑵传递函数的基本性质：①它是复变量s的有理真分式函数。具有复变函数的所有性质；②它只与系统的自身结构和参数有关，与输入信号的形式（大小、性质）无关；④其拉氏反变换是脉冲δ(t)输入下的响应函数g(t)；⑤它与S平面上一定的零、极点图相对应。③与微分方程可以相互转换：dnx（t）/dtnsnX（s）；⑶传递函数的局限性：只适用于描述线性定常SISO系统，也只直接反应系统在零初始条件下的动态特性。AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型2．5典型环节及其传递函数1.典型环节的传递函数及其单位阶跃响应序号典型环节传递函数单位阶跃响应1比例环节G（s）=KC(t)=K1（t）2惯性环节G（s）=1/（Ts+1）C(t)=1-e-t/T3积分环节G（s）=1/Tsc（t）=t/T4纯微分环节G（s）=Tsc（t）=?5一阶微分环节G（s）=Ts+1c（t）=?6二阶微分环节G（s）=T2s2+2ξTs+1c（t）=?7振荡环节G（s）=1/（T2s2+2ξTs+1）c（t）=?8延迟环节G（s）=e-τSc（t）=?2.传递函数的求取AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型例题1：RC无源网络电路如下图所示，试以u1为输入量，u2为输出量,试求该网络的传递函数G(s)。i2C1C2R2R1u1u2i1解：⑴u1为输入量，u2为输出量；⑵设回路电流分别为i1，i2，如图所示，则有：R1R2C1C2u2〞+(R1C1+R1C2+R2C2)u2′+u2=u1在零初始条件下对上式求拉氏变换,得:R1R2C1C2s2U2(s)+(R1C1+R1C2+R2C2)sU2(s)+U2(s)=U1(s)G(s)=U2(s)/U1(s)=1/[R1R2C1C2s2+(R1C1+R1C2+R2C2)s+1]即:AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型例题2：在下图中，已知L=1H，C=1F，R=1Ω。试求该网络的传递函数G(s)。uc（t）ur（t）CLR解：在教材P21例题2-1中已求得该电路的微分模型：tutudttduRCdttudLCrccc22对上式两边求拉氏变换：LC[s2Uc（s）-suc（0）-uc′（0）]+RC[sUc（s）-uc（0）]+Uc（s）=Ur（s）AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型即:LC[s2Uc（s）]+RC[sUc（s）]+Uc（s）=Ur（s）故:G(s)=Uc（s）/Ur（s）=1/[LCs2+RCs+1]=1/(s2+s+1)3.无源网络的传递函数求取------复阻抗法无源网络通常由电阻、电容和电感组成。无源网络的传递函数求取,一般有两种方法：⑴传递函数定义法:微分方程拉氏变换传递函数⑵复阻抗法:依据电路理论复阻抗概念有电阻R的复阻抗为:ZR=R电容C的复阻抗为:ZC=1/Cs电感L的复阻抗为:ZL=LsAutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型例题3:求下图所示电路网络的传递函数G(s)。C2R2R1C1u1u2Z2Z1U1U2解：⑴将电源等效为复阻抗电路⑵Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1s+1）；Z2=ZR2+ZC2=（R2C2s+1）/C2s；⑶G（s）=U2/U1=Z2/（Z1+Z2）=（R1C1s+1）（R2C2s+1）/[（R1C1s+1）（R2C2s+1）+R1C2s]注：请用“传递函数定义法”求解该例题。AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型4.有源网络的传递函数求取例题4：有源网络如图（1）所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果.直接用于图（2）所示调节器，写出其传递函数。图（1）图（2）解：1）对于图（1）Zi和Zf分别表示放大器外部电路的输入支路及反馈支路的复阻抗，设A点虚地，即UA=0，则I1=I2AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型)()()()()(sZsZsUsUsGifiC)()()(1sZsIsUii)()()(2sZsIsUfC所以※上述求得的传递函数表达式可以看做计算运算放大器传递函数的一般公式。2）对于图（2）CsRCsRsZsZsGif121)()()(1)(RsZiCsRsZf/1)(2因为所以AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型例题5：求下图有源网络的微分方程及传递函数（结构图）。R2R2uiuoR1R1C1C2Kiiiou1u2(1)、根据基尔霍夫列写出网络的微分方程式2211222222111111RuRuRuudtduCRuRudtduCRuuoi(2)、在零初始条件下对上述方程组求拉氏变换22112222211111)()()()()()()()()()(RsURsUsUsUssUCRsUsUssUCRsUsUoi(3)、消除中间变量，得网络传递函数22)()(112212sCRsCRRRsUsUioAutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型试建立以下各图所示系统的微分方程。图中电压ur和uc为输入量和输出量。（传递函数、结构图）（a）（c）（b）（d）补充习题一、无源网络AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型求取下图所示有源网络的微分方程及传递函数，并画出系统的结构图。（a）（c）（b）（d）补充习题二、有源网络AutomaticControlTheory§2.控制系统的数学模型2．6控制系统的结构图