变化率与导数的概念

第三章导数及其应用高中数学选修1-1§3.1变化率与导数同学们，我们人个体学习知识的过程是重复人类历史上人类如何学习认识知识的过程。比如我们学习数学遇到的问题就是人类历史上数学家认识研究数学所遇到的问题。历史上数学家如何学习认识研究导数，为什么要发明导数，我们从两个数学家说起。牛顿：影响人类历史的100位伟人，牛顿排名第二。艾萨克·牛顿爵士是人类历史上出现过的最伟大、最有影响的科学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术和神学。他在1687年7月5日发表的不朽著作《自然哲学的数学原理》里用数学方法阐明了宇宙中最基本的法则——万有引力定律和三大运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是“人类智慧史上最伟大的一个成就”，由此奠定了之后三个世纪中物理界的科学观点，并成为现代工程学的基础。牛顿为人类建立起“理性主义”的旗帜，开启工业革命的大门。牛顿逝世后被安葬于威斯敏斯特大教堂，成为在此长眠的第一个科学家。莱布尼兹：影响人类的100位伟人中，无莱布尼兹排名，但是：戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。历史上牛顿与莱布尼兹争论谁是微积分的发明人，牛顿赢，但历史上是两人同时发明。这次争论让英国的数学倒退一个世纪。牛顿、爱因斯坦有自闭症即阿斯伯格症。在发明微积分前已经有笛卡尔的解析几何。但在生活生产实践中遇到一些问题，以往的数学知识无法解决，必须要有新方法来解决。比如：1、已知物体运动的位移是关于时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等。以上有物理问题和几何问题，牛顿从物理角度发明微积分，莱布尼兹从几何角度发明微积分。学习微积分先从哪里开始？先学习导数，要学习导数先学习什么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。对于四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可以求最大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二次曲线围成的面积原来方法就不行），如果大于二次那原来方法就力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。一．创设情景现实世界是运动的，为描述各种变化着的现象，在数学中引入了函数。随着对函数的研究，产生了微积分（牛、莱），这一具有划时代意义的创造的创立，与自然科学中四类问题的处理直接相关：1、已知物体运动的位移是关于时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．气球膨胀率问题1?,.,,,.描述这种现象呢如何从数学的角度的半径增加得越来越慢气球增加随着气球内空气容量的可以发现回忆一下吹气球的过程很多人都吹过气球,):(:,334rrVdmrLV之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道.,343VVrVr那么的函数表示为体积如果把半径,62.001,10dmrrLV气球半径增加了时增加到从当空气容积./.Ldmrr6200101气球的平均膨胀率为,.,,dmrrLL1601221增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地./.Ldmrr1601212气球的平均膨胀率为.,,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出.433VVr?,均膨胀率是多少气球的平时增加到当空气的容量从思考21VV1212)()(VVVrVr问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto请计算00.52:ttv和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05(/)0.50(2)(1)28.2(/)21hhtvmshhtvms在这段时间里，在1这段时间里，计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:65049t探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.平均变化率定义:•若设Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)则平均变化率为121)()fxxx2f(xfx121)()fxxx2f(x这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率理解：1，式子中△x、△f的值可正、可负，但△x值不能为0，△f的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，△f=03,变式211121()()()()fxfxfxxfxxxx思考?•观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121)()fxyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率有的同学学到这里可能会疑问，觉得学习平均变化率好像什么也没学就是以前的直线的斜率且仿佛回到了以前且觉得还把简单问题复杂化。其实如果再学下去，就会峰回路转，焕然一新，出现新东西就是导数。.02附近的平均变化率在求xxxy例题分析例1..)21()21()(2xyyxBAxxxf，则，及附近一点，的图像上的一点已知函数例2.3xxx021212xxxfxfxy.1)(2割线，求割线的斜率两点作、上经过曲线BAxxf例题分析.1.113)(;5.112)(;211)(BABABAxxxxxx，，，例3.3ABk5.2ABk1.2ABk注：最好不画图求出割线斜率，培养抽象思维能力，如果考试能争取时间。.)33(312中相应的平均速度为，，则在时间）质点运动规律为（tts练习t6.443)(22附近的平均变化率求在的规律作直线运动，）物体按（stttst325.1.0)11()1,1()(33时割线的斜率当，做曲线的割线，求出，和上两点）过曲线（xyxQPxxfy31.3小结：•1.函数的平均变化率()fxx121)()fxxx2f(x2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率fx121)()fxxx2f(x3.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略的刻画--------导数1.1.2导数的概念计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:65049t探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.在高台跳水运动中,如何反映某一时刻的运动状态？又如何求瞬时速度呢?问题一：如何求出运动员从2s到(2+△t)s这段时间内的平均速度？105.69.4)(2ttthtthththv9.41.13)2()2(051.13v△t=–0.01时,0951.13v△t=–0.001时,09951.13v△t=–0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,tv9.41.13问题二：可否利用平均速度求瞬时速度？149.13v△t=0.01时,1049.13v△t=0.001时,10049.13v△t=0.0001时,100049.13v△t=0.00001,2s到(2+△t)s的平均速度△t无限逼近0时,2s到(2+△t)s的平均速度便无限逼近2s时的瞬时速度！极限逼近思想！1.13)2()2(lim0ththt从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度△t无限逼近0时,2s到(2+△t)s的平均速度便无限逼近2s时的瞬时速度！tv9.41.13平均速度的极限=瞬时速度问题三：运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt105.69.4)(2ttth问题四：气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢？000()()limvrvvrvv平均膨胀率的极限=瞬时膨胀率()fx()fx0xx问题五：如果将这两个变化率问题中的函数用来表示，那么函数在处的瞬时变化率如何呢？tthttht)()(lim000000()()limvrvvrvv}xyxxfxxfxx0000lim)()Δ(lim平均变化率的极限=瞬时变化率导数的定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xyxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作.)()Δ(lim)(0000xxfxxfxfx)(0xf或,即0|xxy;)().1(000其导数值一般也不相同的值有关，不同的与xxxf的具体取值无关。与xxf)(0一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同).2(由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求极限值);()(00xfxxfy.lim)(00xyxfx;)()(00xxfxxfxy一差、二化、三极限导数的具体模型就是已知位移与时间的函数关系求瞬时速度。例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是)2(f).6(f和xfxf)2()2(根据导数的定义,37)(42xxxxx所以,.3)3(limlim)2(00xxyfxx同理可得.5)6(f在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.CC变式练习：已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度（2）求物体在t时刻的瞬时速度（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？课堂练习:如果质点A按规律则在t=3s时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.8132ts练习：小结1、瞬时速度的概念2、导数的概念3、思想方法：极限逼近、类比、从特殊到一般