4-3协方差及相关系数

概率论第三节协方差及相关系数协方差相关系数课堂练习小结概率论前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数概率论量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y)，即⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、协方差2.简单性质⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义概率论Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即概率论D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量和的方差与协方差的关系特别地)()()(),(22XDXEXEXXCov概率论协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.概率论二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数.定义:设D(X)0,D(Y)0,)()(),(YDXDYXCovXY称在不致引起混淆时，记为.XY概率论相关系数的性质：11||.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故)()(),(YDXDYXCov=00但由并不一定能推出X和Y独立.请看下例.2.X和Y独立时，=0，但其逆不真.概率论，Cov(X,Y)=0，事实上，X的密度函数其它021211)(xxf0)(XE可得0)(cos)cos()(2121dxxxfxXXEXYE0)()()(),(YEXEXYEYXCov例1设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX,不难求得概率论1.3存在常数a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关.因而=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.概率论相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.若=0，Y与X无线性关系;Y与X有严格线性关系;,1若若0||1,||的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;||的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.概率论但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关前面，我们已经看到：若X与Y独立，则X与Y不相关，但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.概率论三、课堂练习1、）具有概率密度，设随机变量（YX其它020,20)(81),(yxyxyxf。求)(),,(),(),(YXDYXCovYEXE2、相互独立，，且设设YXNYNX),(~),,(~22是不全为零的常数）。，其中的相关系数和试求(21YXZYXZ概率论1、解95)(,361),(,67)()(YXDYXCovYEXE2、解2)()(YDXD222221)()()()()(YDXDYXDZD222222)()()()()(YDXDYXDZD22222121)()(),(21ZDZDZZCovZZ),(),(21YXYXCovZZCov),(),(22YYCovXXCov22()()DXDY222()概率论四、小结这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间线性相关程度的一个重要的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的.当(X,Y)服从二维正态分布时，有X与Y独立X与Y不相关概率论第四节矩、协方差矩阵原点矩中心矩协方差矩阵布置作业概率论一、原点矩中心矩定义设X和Y是随机变量，若,2,1),(kXEk存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩,3,2},)]({[kXEXEk若存在，称它为X的k阶中心矩可见，均值E（X）是X一阶原点矩，方差D（X）是X的二阶中心矩。概率论协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.若})]([)]({[LkYEYXEXE存在，称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.)(LkYXE设X和Y是随机变量，若k,L=1,2,…存在，可见，概率论二、协方差矩阵将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩})]({[21111XEXEc)]}()][({[221112XEXXEXEc排成矩阵的形式:)]}()][({[112221XEXXEXEc})]({[22222XEXEc称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.22211211cccc这是一个对称矩阵概率论类似定义n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵都存在,(i,j=1,2,…,n)),(jijiXXCovc若)]}()][({[jjiiXEXXEXEnnnnnncccccccccC212222111211矩阵称概率论五、布置作业4-4:1,6概率论五、布置作业《概率论与数理统计》作业（四）三、解答题第6小题