4-3协方差及相关系数[1]

一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第三节协方差及相关系数1.协方差概念的引入对二维随机向量(X,Y)来说,期望E(X),E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差D(X),D(Y)只反映了X与Y各自与均值的偏离程度,它们对X与Y之间的相互关系不提供任何信息.我们自然希望有一个数字特征能够在一定程度上反映X与Y之间的联系.一、协方差与相关系数的概念及性质2.问题的提出那么相互独立和若随机变量,YX).()()(YDXDYXD不相互独立和若随机变量YX?)(YXD})](){[()(2YXEYXEYXD)]}.()][({[2)()(YEYXEXEYDXD协方差)]}.()][({[),ov(C),,Cov(.)]}()][({[,)]}()][({[,,YEYXEXEYXYXYXYEYXEXEYEYXEXEYX即记为的协方差与为随机变量则称存在若为二维随机变量设3.定义协方差与方差的关系).,Cov(2)()()(YXYDXDYXD4.协方差的计算公式)]};()][({[),Cov()1(YEYXEXEYX.),Cov(,,,iijjjiijpYEyXExYXpYX则为联合分布列为离散型随机变量设yxyxfYEyXExYXyxfYXdd),(),Cov(,),(,,则为联合概率密度为连续型随机变量设5.协方差的计算公式);()()(),Cov()2(YEXEXYEYX证明)]}()][({[),Cov()1(YEYXEXEYX)]()()()([YEXEYXEXYEXYE).()()(YEXEXYE)()()()(2)(YEXEYEXEXYE6.性质);,Cov(),Cov()1(XYYX;,,),Cov(),Cov()2(为常数baYXabbYaX).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX;,,),Cov(),Cov()2(为常数baYXabbYaX证明bYEaXEbYaXEbYaXCov)(),(YEXabEXYabE)(YEXEXYEab)(),(YXabCov).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX证明YEXXEYXXE)()(2121YEXEXEYXEYXE2121YEXEYXEYEXEYXE2211),(),(21YXCovYXCov),(21YXXCov二、相关系数1.相关系数的定义Cov(,)()()().()0,()0XYXYρDXDYXYDXDY称为随机变量与的线性相关系数其中,,.XY和的相关系数又称为标准协方差它是一个无量纲的量这里“标准化”的含义如下：说明),Cov()()(),Cov(,**YXYDXDYXρXY有显然,)(*XDXEXX令，则有0,0**YEXE1,1**YDXD)(*YDYEYY2.相关系数的性质.1)1(XYρ.1}{,,:1)2(baXYPbaYXρXY使得存在常数即之间线性相关与的充要条件是则有的相关系数为、设随机变量,XYYX.,,系较紧密的线性关系联表明较大时当YXρXY.,,线性相关的程度较差较小时当YXρXY.,,0不存在线性关系和即和称时当YXYXρXY不相关3.相关系数的意义注意的关系。之间不存在其他形式和线性关系，并不等于说之间不存在和是指不相关和随机变量YXYXYX,由于的均匀分布服从例如设,cos,sin,]π,π[YX,0dsinπ21)(ππXE,0dcosπ21)(ππYE,0dcossinπ21)(ππXYE从而,0CovXYEXYEXEY0XY从而,不相关与YX,122YX而.并不独立与即YX的联合分布列为设,YX例2XY10110181818181081818181是否相互独立？与相关吗？与问：YXYX(2))1(pp113-19解8111811181118111)1(XYE0831831XE0同理0YE则有0,YEXEXYEYXCov.,不相关YX838311)2(YPXP649而811,1YXP则有1,111YXPYPXP.,不独立YX(1)不相关与相互独立的关系2.注意相互独立不相关.)2(相互独立与等价于相关系数为零与二维正态随机变量　　　YXYX.,0不相关YXρXY和称时当若(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y不相关X,Y相互独立.pp75-例4.23,21),4,0(),3,1(,22YXZρNNYXXY设分别服从　　已知随机变量(1).(2).ZXZ求的数学期望和方差求与的相关系数解.16)(,0)(,9)(,1)()1(YDYEXDXE由)23()(YXEZE得　　)(21)(31YEXE.31例3pp113-21)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD),Cov(31)(41)(91YXYDXD)()(31)(41)(91YDXDρYDXDXY.3241)()(21)(31YDXDρXDXY.033.0))()((),Cov(ZDXDZXρXY故)23,Cov(),Cov()2(YXXZX),Cov(21),Cov(31YXXX三、小结下列命题是等价的:;,1o不相关YX;0),Cov(2oYX);()()(3oYEXEXYE).()()(4oYDXDYXD作业P113－19,20,21