高考圆锥曲线压轴题型总结

高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。使用韦达定理时需注意成立的条件。题型4有关定点，定值问题。将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。（湖北卷）设A、B是椭圆223yx上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为223,3)1(yxxky代入，整理得.0)3()3(2)3(222kxkkxk①设是方程则212211,),,(),,(xxyxByxA①的两个不同的根，0])3(3)3([422kk②)3,1(.3)3(2221Nkkkxx由且是线段AB的中点，得.3)3(,12221kkkxx解得k=-1，代入②得，12，即的取值范围是（12，+）.于是，直线AB的方程为.04),1(3yxxy即解法2：设则有),,(),,(2211yxByxA.0))(())((33,32121212122222121yyyyxxxxyxyx依题意，.)(3,212121yyxxkxxAB.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121yxxyABNkyyxxABNAB即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是（II）解法1：.02,13,yxxyCDABCD即的方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442xx③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(xxyxMCDyxDyxC③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043Mxyxxxxx即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432xxkCD④将直线AB的方程代入椭圆方程得,04yx.016842xx⑤同理可得.)12(2||1||212xxkAB⑥.||||.,)12(2)3(2,12CDAB时当假设在在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为.2232|42321|2|4|00yxd⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CDABdMBMA故当12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，2||CD为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角即|,|||||2DNCNAN).2||)(2||()2||(2dCDdCDAB⑧由⑥式知，⑧式左边=.212由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(,2122923∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由（II）解法1及12.,13,xyCDABCD方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442xx③将直线AB的方程,04yx代入椭圆方程，整理得.016842xx⑤解③和⑤式可得.231,2122,4,321xx不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(DCA∴)21233,23123(CA)21233,23123(DA计算可得0DACA，∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）【点评】第一问可以作为直线与圆的知识点，第二问就作为函数思想算了，未知数一个嘛。（06辽宁卷）已知点11(,)Axy,22(,)Bxy12(0)xx是抛物线22(0)ypxp上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足OAOBOAOB.设圆C的方程为221212()()0xyxxxyyy(I)证明线段AB是圆C的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。【解析】(I)证明1:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB222222OAOAOBOBOAOAOBOB整理得:0OAOB12120xxyy设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则0MAMB即1212()()()()0xxxxyyyy整理得:221212()()0xyxxxyyy故线段AB是圆C的直径证明2:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB222222OAOAOBOBOAOAOBOB整理得:0OAOB12120xxyy……..(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即2112211(,)yyyyxxxxxxxx去分母得:1212()()()()0xxxxyyyy点11122122(,),(,),(,)(,)xyxyxyxy满足上方程,展开并将(1)代入得:221212()()0xyxxxyyy故线段AB是圆C的直径证明3:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB222222OAOAOBOBOAOAOBOB整理得:0OAOB12120xxyy……(1)以线段AB为直径的圆的方程为2222121212121()()[()()]224xxyyxyxxyy展开并将(1)代入得:221212()()0xyxxxyyy故线段AB是圆C的直径(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy2211222,2(0)ypxypxp22121224yyxxp又因12120xxyy1212xxyy22121224yyyyp12120,0xxyy2124yyp2222121212121211()(2)2444xxyyxyyyyyyppp221(2)ypp所以圆心的轨迹方程为222ypxp设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则22221|(2)2||2||22|555ypyxyypyppdp22|()|5yppp当y=p时,d有最小值5p,由题设得2555p2p.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy2211222,2(0)ypxypxp22121224yyxxp又因12120xxyy1212xxyy22121224yyyyp12120,0xxyy2124yyp2222121212121211()(2)2444xxyyxyyyyyyppp221(2)ypp所以圆心的轨迹方程为222ypxp设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为255,则2m因为x-2y+2=0与222ypxp无公共点,所以当x-2y-2=0与222ypxp仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为25522220(2)2(3)xyypxp将(2)代入(3)得222220ypypp2244(22)0ppp02.pp解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则1212|()|25xxyyd2211222,2(0)ypxypxp22121224yyxxp又因12120xxyy1212xxyy22121224yyyyp12120,0xxyy2124yyp2212122221212121|()()||24()8|4545yyyyyyyypyyppdp2212(2)445yyppp当122yyp时,d有最小值5p,由题设得2555p2p.(山东理)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab3,1acac，22,1,3acb221.43xy(II)设1122(,),(,)AxyBxy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0mkkm，22340km.212122284(3),.3434mkmxxxxkk22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmkxxmkxxmk以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx，1212122()40yyxxxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得1222,7kmkm，且满足22340km.当2mk时，:(2)lykx，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，2:()7lykx，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7（07湖南理）已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点．（I）若动点M满足1111FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．20．解：由条件知1(20)F，，2(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，．解法一：（I）设()Mxy，，则则1(2)FMxy，，111(2)FAxy，，1221(2)(20)FBxyFO，，，，由1111FMFAFBFO得121226xxxyyy，即12124xxxyyy，于是AB的中点坐标为422xy，．当AB不与x轴垂直时，121224822yyyyxxxx，即1212()8yyyxxx．又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(4)()xxxyyy．将1212()8yyyxxx代入上式，化简得22(6)4xy．当AB与x轴垂直时，122xx，求得(80)M，，也满足上述方程．所以点M的轨迹方程是22(6)4xy．（II）假设在x轴上存在定点(0)Cm，，使CACB为常数．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)