三个数的均值定理

【学习目标】1．了解三个正数的算术平均值与几何平均值的大小．2．会用三个正数的均值不等式解决一些简单的问题．【学法指导】1．要善于通过由两个正数的均值不等式推广到三个及多个正数的均值不等式．2．利用均值不等式解决问题是特别注意等号成立的等价条件．三个正数的均值不等式1．如果a，b∈R，那么a2＋b22ab(当且仅当时取“＝”号)．2．若a，b都为数，那么a＋b2ab(当且仅当ab时，等号成立)，称上述不等式为不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．3．当a0，b0时，调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值≥a＝b＝正≥基本a＋b2ab复习回顾21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b224．设x，y为正实数(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当时，积xy有最值为.(2)若xy＝p(积p为定值)，则当时，和x＋y有最值为.5．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y必须是；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为．(3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．x＝y大x＝y小s242p正数定值1.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求的最小值；(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.yx11.)2)(1(,15,2,1.2的最大值求且已知yxDyxyx1822336热身训练解决下列问题页的内容，自主学习教材-9-8探究一三个正数的均值不等式？等号成立的条件是什么怎样证明？推广到三个数又如何？：由问题abba2122号成立的条件是什么？系如何？怎样证明？等关数与几何平均数的大小：三个正数的算术平均问题2何？数推广到多个正数又如：由两个正数、三个正问题3和的立方公式：3223333)(yxyyxxyx立方和公式：))((2233yxyxyxyx3,.,,3abcabcRabcabc若那么当且仅当时，等号成立。定理表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三个正数的算术-几何平均不等式推广对于n个正数123,,,naaaa，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即123123nnnaaaaaaaan≥(当且仅当123naaaa时取等号.)设,,xyz都是正数，则有⑴若xyzS（定值），则当xyz时，xyz有最_____值_____.⑵若xyzp（定值），则当xyz时，xyz有最_____值_______.注：一正、二定、三等。小33S大273p探究二三个正数的均值不等式的应用理论迁移abccbacba27)(13都是正数，求证：、、：已知例例2求函数在上的最大值.()[,]211303yxxxaxa2例3.将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?变式.)1(,10)1(2的最大值求函数时当xxyx.)1(,10)2(2的最大值求函数时当xxyx232,(0).yxxx求函数的最小值3322243212321232xxxxxxxxy解:3min43y思考：下列解法正确吗？达标检测1.函数的最小值是()A.6B.C.9D.122.函数的最小值是____________3.函数的最大值是（）A.0B.1C.D.)0(1232xxxy222)1(164xxy)20)(2(24xxxy6627162732C8D归纳延伸通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。1．教材10页10、11、12、13提示：11题条件两边平方解决2．预习绝对值不等式课后作业