第八章 全通系统与最小相位系统

数字信号处理第2章©2004第八章全通系统与最小相位系统数字信号处理第2章©20040,1|)(|jeH1．全通系统若系统的幅度特性为:0,)()(jjeeH则称该系统为全通系统。全通系统的频率响应可表示为:数字信号处理第2章©2004100000()()1()NNNkkkkNNkkNNkkkkkkazazDzHzzzaDzazaz一个N阶的全通系统的系统函数表达式为：1|)(*)(||)(|jjjeDeDeH令,由于故*()()jjDeDejez满足全通系统的定义。数字信号处理第2章©2004容易看出，全通滤波器系统函数H(z)的构成特点是其分子、分母多项式的系统相同，但排列顺序相反。数字信号处理第2章©2004全通系统的零极点具有以下特性:设为H(z)的极点,则一定为零点,对实有理分式的H(z),zk,pk互为倒易关系。这样全通系统的零极点相对单位圆是镜象共轭成对的，零点全部在单位圆外,如图所示。jkrep11jkkzpre数字信号处理第2章©2004NiiizzzH11*11)(一个N阶的全通系统的系统函数表达式为可化为一阶和二阶系统乘积的形式221121122/11)(zzzzzHkkkkNk其中，ai为系统函数的极点。若系统函数是实有理分式，则a1k、a2k为实数。数字信号处理第2章©20041||11||11||1|)(|zzzzH稳定的全通系统函数的幅度具有以下性质：数字信号处理第2章©20040)(dd现在讨论全通系统函数的相位特性性质2对实稳定全通系统，当频率ω从0变化到π时，N阶全通系统的相位的改变为Nπ。性质1全通系统的相位特性随频率单调下降，即有)(数字信号处理第2章©2004现说明性质1先考虑最简单的由和构成的一阶系统函数(r1)jrep1jerpz1111)(1111111)(zpzzzH其频率响应为jjezjepzezHeHj111111|)()(])})cos(1)sin(arctan[2(exp{rrj数字信号处理第2章©2004显然其幅度响应为1)(1jeH而相位为])cos(1)sin(arctan[2)](arg[)(11rreHj上式对ω微分，得0|1|)1()cos(21)1()(2)(2221jrerrrrdd由于r1，因而对任何频率ω恒有小于零。dd)(1对于N阶系统，总的相位是所有的总和，因而性质1成立。Nnn2,1),(通常定义系统的群延时为0)()(dd数字信号处理第2章©2004现说明性质2先考虑N=1时的一阶系统。对实一阶系统，零极点应为实数，此时，当频率ω从0变化到π时，其相位改变为0,1jrep2211112111121*1*111111121)1)()(1()(1zzzzzpzzzpzzzH)()0()(111再考虑由一阶系统式的共轭零极点构成的二阶系统])cos(1)sin(arctan[2])cos(1)sin(arctan[22)](arg[)(22rrrreHj其相位响应为2)()0()(222当频率ω从0变化到π时，其相位改变为数字信号处理第2章©20042/12/1])cos(1)sin(arctan[2])cos(1)sin(arctan[2)](arg[)(NiiiiiNiiiiijNNrrrrNeH*任何全通系统都可化为一阶和二阶函数之积，其相位为这些一阶和二阶系统的相位之和，可表示为NNNN)()0()(当频率ω从0变化到π时，其相位改变为或NddNNNN)()0()()(00式中)(N代表N阶全通系统的群延时数字信号处理第2章©20042．最小相位系统零极点都在单位圆内的系统这就是所谓的最小相位系统。与此相对应，当系统函数的零点都在单位圆外，称为最大相位系统.在单位圆内外都有零点的系统称为混合相位系统。数字信号处理第2章©2004当频率ω由0变到2π时，单位圆内的每个零点对相位变化的贡献为+2π，极点为-2π。而单位圆外的每个零极点对相位变化的贡献为0。设系统具有M个零点，单位圆内有mi个，单位圆外有mo个，有N个极点，单位圆内有ni个，单位圆外有no个。对稳定系统no=0，N=ni。当频率ω由零变到2π时，稳定系统的相位改变量为当系统函数的所有零点也在单位圆内时，mo=0，因此当ω由零变到2π时：最小相位系统的相位改变量为零。oiijmMmNmMNeH2)(2)(2)(2)](arg[数字信号处理第2章©2004式中H(z)为非最小相位系统Hmin(z)最小相位系统HA(z)全通系统的传输函数最小相位系统具有以下特性：)()()(minzHzHzHA性质1任何非最小相位系统都可以由最小相位系统和全通系统相级联构成。即数字信号处理第2章©2004)1)(()(11zzzHzHo设H(z)仅有一个零点zo在单位圆外部，这样可将它写成)()(]1)][)(([)1)(()(min11111111zHzHzzzzzzzHzzzzzzzHzHAoooooo式中,H1(z)是一个零极点都在单位圆内部的最小相位部分，上式可改写成*上式说明可以把单位圆外的零点乘以全通函数后移到单位圆内。数字信号处理第2章©2004性质2最小相位系统的具有最小群延时和最小相位滞后特性。假设已知Hmin(z)和H(z)，且Hmin(z)和H(z)有相同的幅度响应，即。其相位响应分别为。令全通系统的传输函数，其相位响应为因为全通系统函数的群延时总是大于零，故有先说明最小群延时性质)()(minjjeHeH)],(arg[jeH)](arg[minminjeH)(/)()(minzHzHzHA)](arg[)](arg[)()()](arg[minminjjjAAeHeHeH0)()()]()([)()(minminddddAA)()(min或说明最小相位系统具有最小的群延时。数字信号处理第2章©2004假设已知Hmin(z)，其频率响应为其中再说明最小相位滞后特性)(minmin|)(|)(MjjjeeHeH)](arg[minjMeH)()1()(1minzFzzzHi设zi是它在单位圆中的一个零点，Hmin(z)可表示为：其中F(z)仍然是最小相位系统。表示信号通过最小相位系统Hmin(z)后产生的相位滞后。数字信号处理第2章©2004)](arg[jBBeH其中表示信号通过系统HB(z)后产生的相位滞后.)(|)(|)(BjjBjBeeHeH由于HB(z)的零点z=(1/zi)*是zi的共轭倒数，在单位圆外，因此HB(z)是非最小相位的稳定系统。它的频率响应HB(ejω)为将因子(1-ziz-1)用因子(-zi*+z-1)代替，得到系统HB(z)，)()*()(1zFzzzHiB数字信号处理第2章©2004比较Hmin(ejω)与HB(ejω)可得jijijijjijijezBMBjjBjjBjeeezezeezezzHzHeeHeHeHeH2min][minmin**1)()(|)(||)(|)()(]arg[ijze其中如图所示数字信号处理第2章©2004()()22()20BM上式表明Hmin(ejω)与HB(ejω)具有相同的幅度响应特性它们的相位响应的差别为)()(minjBjeHeH*表明，对[0，]中的任何恒有，也就是说最小相位系统的相位滞后总是小于所有其它具有相同幅度响应的系统的相位滞后，这也就是最小相位系统名称的来由。)()(MB数字信号处理第2章©2004推论全通系统的相位在[0，]范围内为非正值。因任何系统的相位可表示成最小相位系统的相位与全通系统的相位之和，故有)](arg[)](arg[)](arg[minjjjAeHeHeH由于相位滞后是相位的负值，因此由式若用HB(ejω)代替H(ejω)得到0)}()({)](arg[MjAeH02)(22)()(MB这说明在[0，]范围内全通系统的相位为非正值.数字信号处理第2章©20041122min00|()||()|NNnnhnhn若最小相位系统的单位脉冲响应为hmin(n)，与之具有相同幅度响应的系统的单位脉冲响应为h(n)，若系统的输入为δ(n)，系统的输出就是单位脉冲响应，因此最小能量延时的特性可以表示为性质3最小相位系统具有能量延时最小的特性数字信号处理第2章©2004由式知，可以将一般的系统表示成最小相位系统和全通系统相级联的形式，如图所示。202min0|)(||)(|nhnhnn)()()(minzHzHzHA可以证明信号经过全通系统后能量不变，因此对因果系统有数字信号处理第2章©2004)()()(*)()(min0minmnhmhnhnhnhama设全通系统的单位脉冲响应为ha(n)，则有nmnhmhnhnxnyaNma0)()()(*)()(min10取hmin(n)的前N项：x(n)=hmin(n)RN(n)作为全通系统ha(n)的输入，那么ha(n)的输出为由于信号经过ha(n)后能量不变，因此122min00122200|()||()||()||()||()|NmmNmmmNxmhmymymym数字信号处理第2章©20041,,0)()()()(min10NnnymnhmhnhaNm考虑n=0,…,N-1时h(n)的前N项，由于因果性，h(n)与所有n≥N-1后的输入hmin(n)无关，因此有21022102min10|)(||)(||)(|)(mhmymhmhNmNmNmNm这样可得|)0(||)0(|minhh从而证明了式成立，若令N=1，可得1122min00|()||()|NNnnhnhn