第八章 刚体的基本运动2

刚体的平动刚体的定轴转动转动刚体上各点的速度和加速度角速度、角加速度的矢量表示；速度、加速度的矢量积表示第八章刚体的简单运动8.1刚体的平动在刚体运动的过程中，刚体内任一直线的方向始终不变，即其方向始终与原来的方向平行。具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的平行移动，简称平动。定理：当刚体平动时，刚体内各点的轨迹形状都相同，且在同一瞬时各点都具有相同的速度和加速度。因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运动。8.2刚体的定轴转动一、转动特征、转动方程在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。Oz面平静面平动当刚体转动时，角是时间t的单值连续函数，即)(t这就是刚体的转动方程。如图，角称为位置角。二、角速度角加速度刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时间的一阶导数，用表示，即dtd角速度的单位为弧度/秒（）srad工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分（），与n转换关系为minrnn30602刚体绕定轴转动的角加速度等于其角速度对时间的一阶导数，用表示，即22dtddtd8.2刚体的定轴转动8.2刚体的定轴转动例1xyOA0vhx物块以匀速沿水平直线平动。杆OA可绕O轴转动，杆保持紧靠在物块的侧棱上，如图。已知物块的高度为h，试求OA杆的转动方程、角速度和角加速度。解：建立如图的直角坐标。则htvhxtg0故OA杆的转动方程为)(0htvarctg角速度:22020tvhhvdtd角加速度:2230230)(2tvhthvdtd8.3转动刚体上各点的速度和加速度当刚体绕定轴转动时，距转轴r的任一点M是以轴上的O点为圆心，r为半径作圆周运动，如图。建立如图的自然坐标，则动点M的自然坐标形式的运动方程为rs动点速度的大小为rdtdrdtdsv方向如图。即：转动刚体上任一点速度的大小等于该点到转轴的距离与刚体角速度的乘积。动点的切向加速度为rdtdrdtdva方向如图。O0MMrs)(va即：转动刚体上任一点的切向加速度的大小等于该点到转轴的距离与刚体角加速度的乘积。8.3转动刚体上各点的速度和加速度动点的法向加速度为222)(rrrvan即：转动刚体上任一点的法向加速度的大小等于该点到转轴的距离与刚体角速度平方的乘积。动点的全加速度的大小及其与半径的偏角为O0MMaanaO0MMrs)(vana4222raaan2arctgaaarctgn由以上可知：转动刚体内任一点的速度和加速度都与该点到转轴的距离成正比，但全加速度与半径所成的偏角与转动半径无关，即：在同一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径都有相同的偏角。8.3转动刚体上各点的速度和加速度OO定轴转动刚体的速度和加速度分布图如下图所示。8.3转动刚体上各点的速度和加速度例2一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。tt42解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为42tdtd222dtd求当t=1s时，则为srad/22/2srad因此轮缘上任一点M的速度和加速度为smRv/4.02/4.0smRa22/8.0smRanARMOvana8.3转动刚体上各点的速度和加速度例2M点的全加速度及其偏角为ARMOanaa22222/894.0)8.0()4.0(smaaan43265.02arctgarctg如图。现在求物体A的速度和加速度。因为MAss上式两边求一阶及二阶导数，则得MAvvMAaa因此smvA/4.02/4.0smaA8.3转动刚体上各点的速度和加速度例31O2O1r2r1122齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知、、、，求、。1r2r1122解：因啮合点无相对滑动，所以21vv21aa1v2v1a2a由于111rv222rv111ra222ra于是可得1212rr1212rr即122121rr8.3转动刚体上各点的速度和加速度通常称主动轮与从动轮角速度或角加速度之比为传动比，记为，由上例可知12i12212112rri即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们节圆半径成反比。由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故12212112zzi即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。8.4角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示z角速度的矢量表示：如图。角速度矢量从转轴上任一点画出，其长度按比例尺由决定，指向由右手法则确定。以表示Z轴的单位矢量，如图，则kkkk对上式求导，则的角加速度矢量kkdtddtdzk如图。角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。8.4角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示zRrMvrO如图，在轴线上任选一点O为原点，动点的矢径用表示，则点M的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示，即rrv将上式对时间求一阶导数，有dtrdrdtdrdtddtvda)(即vra于是ravanzRrMvrOravna如图所示。8.4角速度、角加速度的矢量表示速度、加速度的矢量积表示zRrMvrOravna综上所述：转动刚体上任一点的速度等于刚体的角速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢量与该点速度的矢量积。结束