2018年北京市高考数学试卷(文科)

试卷第1页，总16页2018年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合𝐴={𝑥||𝑥|2}，𝐵={−2, 0, 1, 2}，则𝐴∩𝐵=()A.{0, 1}B.{−1, 0, 1}C.{−2, 0, 1, 2}D.{−1, 0, 1, 2}2.在复平面内，复数11−𝑖的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的𝑠值为（）A.12B.56C.76D.7124.设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑是非零实数，则“𝑎𝑑=𝑏𝑐”是“𝑎，𝑏，𝑐，𝑑成等比数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．若第一个单音的频率为𝑓，则第八个单音的频率为（）A.√23𝑓B.√223𝑓C.√2512𝑓D.√2712𝑓6.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）试卷第2页，总16页A.1B.2C.3D.47.在平面直角坐标系中，𝐴𝐵^，𝐶𝐷^，𝐸𝐹^，𝐺𝐻^是圆𝑥2+𝑦2=1上的四段弧（如图），点𝑃其中一段上，角𝛼以𝑂𝑥为始边，𝑂𝑃为终边．若tan𝛼cos𝛼sin𝛼，则𝑃所在的圆弧是（）A.𝐴𝐵^B.𝐶𝐷^C.𝐸𝐹^D.𝐺𝐻^8.设集合𝐴={(𝑥, 𝑦)|𝑥−𝑦≥1, 𝑎𝑥+𝑦4, 𝑥−𝑎𝑦≤2}，则（）A.对任意实数𝑎，(2, 1)∈𝐴B.对任意实数𝑎，(2, 1)∉𝐴C.当且仅当𝑎0时，(2, 1)∉𝐴D.当且仅当𝑎≤32时，(2, 1)∉𝐴二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.设向量𝑎→=(1, 0)，𝑏→=(−1, 𝑚)．若𝑎→⊥(𝑚𝑎→−𝑏→)，则𝑚=________．10.已知直线𝑙过点(1, 0)且垂直于𝑥轴．若𝑙被抛物线𝑦2=4𝑎𝑥截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．11.能说明“若𝑎𝑏，则1𝑎1𝑏”为假命题的一组𝑎，𝑏的值依次为________．12.若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦24=1(𝑎0)的离心率为√52，则𝑎=________．13.若𝑥，𝑦满足𝑥+1≤𝑦≤2𝑥，则2𝑦−𝑥的最小值是________．14.若△𝐴𝐵𝐶的面积为√34(𝑎2+𝑐2−𝑏2)，且∠𝐶为钝角，则∠𝐵=________；𝑐𝑎的取值范试卷第3页，总16页围是________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.设{𝑎𝑛}是等差数列，且𝑎1=ln2，𝑎2+𝑎3=5ln2．（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）求𝑒𝑎1+𝑒𝑎2+...+𝑒𝑎𝑛．16.已知函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥+√3sin𝑥cos𝑥．（1）求𝑓(𝑥)的最小正周期；（2）若𝑓(𝑥)在区间[−𝜋3, 𝑚]上的最大值为32，求𝑚的最小值．17.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）18.如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴⊥𝑃𝐷，𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷，𝑃𝐵的中点．（1）求证：𝑃𝐸⊥𝐵𝐶；（2）求证：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐶𝐷；（3）求证：𝐸𝐹 // 平面𝑃𝐶𝐷．19.设函数𝑓(𝑥)=[𝑎𝑥2−(3𝑎+1)𝑥+3𝑎+2]𝑒𝑥．（1）若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点（2, 𝑓(2)）处的切线斜率为0，求𝑎；试卷第4页，总16页（2）若𝑓(𝑥)在𝑥=1处取得极小值，求𝑎的取值范围．20.已知椭圆𝑀:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的离心率为√63，焦距为2√2．斜率为𝑘的直线𝑙与椭圆𝑀有两个不同的交点𝐴，𝐵．（1）求椭圆𝑀的方程；（2）若𝑘=1，求|𝐴𝐵|的最大值；（3）设𝑃(−2, 0)，直线𝑃𝐴与椭圆𝑀的另一个交点为𝐶，直线𝑃𝐵与椭圆𝑀的另一个交点为𝐷．若𝐶，𝐷和点𝑄(−74, 14)共线，求𝑘．试卷第5页，总16页参考答案与试题解析2018年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】根据集合的交集的定义进行求解即可．【解答】解：∵集合𝐴={𝑥||𝑥|2}={𝑥|−2𝑥2}，𝐵={−2, 0, 1, 2}，∴𝐴∩𝐵={0, 1}，故选：𝐴．2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．【解答】解：复数11−𝑖=1+𝑖(1−𝑖)(1+𝑖)=12+12𝑖，共轭复数对应点的坐标(12, −12)在第四象限．故选：𝐷．3.【答案】B【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图的应用求出结果．【解答】解：执行循环前：𝑘=1，𝑆=1．在执行第一次循环时，𝑆=1−12=12．由于𝑘=2≤3，所以执行下一次循环．𝑆=12+13=56，试卷第6页，总16页𝑘=3，直接输出𝑆=56.故选𝐵．4.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：若𝑎，𝑏，𝑐，𝑑成等比数列，则𝑎𝑑=𝑏𝑐，反之数列−1，−1，1，1．满足−1×1=−1×1，但数列−1，−1，1，1不是等比数列，即“𝑎𝑑=𝑏𝑐”是“𝑎，𝑏，𝑐，𝑑成等比数列”的必要不充分条件．故选𝐵．5.【答案】D【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．若第一个单音的频率为𝑓，则第八个单音的频率为：(√212)7⋅𝑓=√2712𝑓．故选：𝐷．6.【答案】C【考点】由三视图求面积、体积简单空间图形的三视图【解析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐶=√5，𝐶𝐷=√5，𝑃𝐶=3，𝑃𝐷=2√2，可得三角形𝑃𝐶𝐷不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△𝑃𝐴𝐵，△𝑃𝐵𝐶，△𝑃𝐴𝐷．故选：𝐶．试卷第7页，总16页7.【答案】C【考点】三角函数线【解析】根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可．【解答】解：𝐴．在𝐴𝐵段，正弦线小于余弦线，即cos𝛼sin𝛼不成立，故𝐴不满足条件．𝐵．在𝐶𝐷段正切线最大，则cos𝛼sin𝛼tan𝛼，故𝐵不满足条件．𝐶．在𝐸𝐹段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tan𝛼cos𝛼sin𝛼，𝐷．在𝐺𝐻段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cos𝛼sin𝛼tan𝛼不满足tan𝛼cos𝛼sin𝛼．故选：𝐶．8.【答案】D【考点】存在量词全称量词【解析】利用𝑎的取值，反例判断(2, 1)∈𝐴是否成立即可．【解答】解：当𝑎=−1时，集合𝐴={(𝑥, 𝑦)|𝑥−𝑦≥1, 𝑎𝑥+𝑦4, 𝑥−𝑎𝑦≤2}={(𝑥, 𝑦)|𝑥−𝑦≥1, −𝑥+𝑦4, 𝑥+𝑦≤2}，显然(2, 1)不满足，−𝑥+𝑦4，𝑥+𝑦≤2，所以A，C不正确；当𝑎=4，集合𝐴={(𝑥, 𝑦)|𝑥−𝑦≥1, 𝑎𝑥+𝑦4, 𝑥−𝑎𝑦≤2}={(𝑥, 𝑦)|𝑥−𝑦≥1, 4𝑥+𝑦4, 𝑥−4𝑦≤2}，显然(2, 1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确.故选：D．试卷第8页，总16页二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.【答案】−1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可．【解答】解：向量𝑎→=(1, 0)，𝑏→=(−1, 𝑚)．𝑚𝑎→−𝑏→=(𝑚+1, −𝑚)．∵𝑎→⊥(𝑚𝑎→−𝑏→)，∴𝑚+1=0，解得𝑚=−1．故答案为：−1．10.【答案】(1, 0)【考点】抛物线的性质【解析】先求出直线𝑥=1，代入抛物线中，求出𝑦，根据𝑙被抛物线𝑦2=4𝑎𝑥截得的线段长为4，即可求出𝑎，问题得以解决．【解答】解：∵直线𝑙过点(1, 0)且垂直于𝑥轴，∴𝑥=1，代入到𝑦2=4𝑎𝑥，可得𝑦2=4𝑎，显然𝑎0，∴𝑦=±2√𝑎，∵𝑙被抛物线𝑦2=4𝑎𝑥截得的线段长为4，∴4√𝑎=4，解得𝑎=1，∴𝑦2=4𝑥，∴抛物线的焦点坐标为(1, 0)，故答案为：(1, 0)11.【答案】𝑎=1，𝑏=−1【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．【解答】解：当𝑎0，𝑏0时，满足𝑎𝑏，但1𝑎1𝑏为假命题，试卷第9页，总16页故答案可以是𝑎=1，𝑏=−1，故答案为：𝑎=1，𝑏=−1．12.【答案】4【考点】双曲线的性质【解析】利用双曲线的简单性质，直接求解即可．【解答】解：双曲线𝑥2𝑎2−𝑦24=1(𝑎0)的离心率为√52，可得：𝑎2+4𝑎2=54，解得𝑎=4．故答案为：4．13.【答案】3【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设𝑧=2𝑦−𝑥，则𝑦=12𝑥+12𝑧，平移𝑦=12𝑥+12𝑧，由图象知当直线𝑦=12𝑥+12𝑧经过点𝐴时，直线的截距最小，此时𝑧最小，由{𝑥+1=𝑦𝑦=2𝑥得{𝑥=1𝑦=2，即𝐴(1, 2)，此时𝑧=2×2−1=3，故答案为：314.【答案】试卷第10页，总16页𝜋3,(2, +∞)【考点】余弦定理【解析】利用余弦定理，转化求解即可．【解答】解：△𝐴𝐵𝐶的面积为√34(𝑎2+𝑐2−𝑏2)，可得：√34(𝑎2+𝑐2−𝑏2)=12𝑎𝑐sin𝐵，sin𝐵cos𝐵=√3，可得：tan𝐵=√3，所以𝐵=𝜋3，∠𝐶为钝角，𝐴∈(0, 𝜋6)，cot𝐴∈(√3, +∞)．𝑐𝑎=sin𝐶sin𝐴=sin(𝐴+𝐵)sin𝐴=cos𝐵+cot𝐴sin𝐵=12+√32cot𝐴∈(2, +∞)．故答案为：𝜋3；(2, +∞)．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.【答案】