§4 基变换与坐标变换

一、向量(矩阵)的形式写法二、基变换§4基变换与坐标变换三、坐标变换在n维线性空间V中，一组基与另一组基之间有什么关系(基变换问题)?同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系(坐标变换问题)?第六章线性空间§4基变换与坐标变换一、向量(矩阵)的形式写法1、V为数域P上的n维线性空间，为12,,,nV中的一组向量，，若V1122nnxxx则记作1212(,,,)nnxxx第六章线性空间§4基变换与坐标变换11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa则记作2、V为数域P上n维线性空间，；12,,,n12,,,n为V中的两组向量，若1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa第六章线性空间§4基变换与坐标变换在形式写法下有下列运算规律1)121212,,,,,,,,,,,nnnVaaabbbP11112222121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnnabababababab若12,,,n线性无关，则111122221212(,,,)(,,,)nnnnnnabababababab注：第六章线性空间§4基变换与坐标变换2)；为V中的两组向量，12,,,n12,,,n矩阵，则,nnABP1212((,,,))(,,,)();nnABAB1212(,,,)(,,,)nnAB1212(,,,)(,,,)nnAA1122(,,,);nnA若12,,,n线性无关，则1212(,,,)(,,,).nnABAB12(,,,)();nAB第六章线性空间§4基变换与坐标变换1、定义设V为数域P上n维线性空间，；12,,,n12,,,n为V中的两组基，若11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa①即，二、基变换第六章线性空间§4基变换与坐标变换则称矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa为由基到基的过渡矩阵；12,,,n12,,,n称①或②为由基到基12,,,n12,,,n的基变换公式．1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa②第六章线性空间§4基变换与坐标变换2、有关性质1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证明：若为V的两组基,1212,,,;,,,nn且由基的过渡矩阵为A，1212,,,,,,nn到即1212(,,,)(,,,)nnA又由基也有一个过渡矩阵,1212,,,,,,nn到设为B，即1212(,,,)(,,,)nnB③④比较③、④两个等式，有第六章线性空间§4基变换与坐标变换1212,,,,,,nnBA1212,,,,,,nnAB都是线性无关的,1212,,,;,,,nn.ABBAE即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.反过来，设为P上任一可逆矩阵，()ijnnAa任取V的一组基12,,,,n1212(,,,)(,,,)nnA于是有，1,1,2,,nijiiajnj令第六章线性空间§4基变换与坐标变换11212(,,,)(,,,)nnA由A可逆，有1212,,,,,,nn与等价.即，也可由线性表出.12,,,n12,,,n故线性无关，从而也为V的一组基.12,,,n并且A就是的过渡矩阵.1212,,,,,,nn到2）若由基到基过渡矩阵为A,1212,,,,,,nn则由基到基过渡矩阵为A-1.1212,,,,,,nn第六章线性空间§4基变换与坐标变换3）若由基过渡矩阵为A,1212,,,,,,到基nn由基过渡矩阵为B，则1212,,,,,,到基nn由基过渡矩阵为AB.1212,,,,,,到基nn1212(,,,)(,,,)nnB1212(,,,)(,,,)nnA事实上,若1212(,,,)((,,,))nnAB则有，12(,,,)nAB第六章线性空间§4基变换与坐标变换三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空间12,,,;n为V中的两组基，且12,,,n1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa设且ξ在基与基12,,,n12,,,nV下的坐标分别为与，12(,,,)nxxx12(,,,)nxxx第六章线性空间§4基变换与坐标变换即，1212(,,,)nnxxx与1212(,,,)nnxxx则1112111221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa或11112111221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa⑦称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．⑥第六章线性空间§4基变换与坐标变换例1在Pn中，求由基12,,,n到基12,,,n过渡矩阵．其中12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n12(1,1,,1),(0,1,,1),,(0,,0,1)n解：∵11222nnnn的过渡矩阵及由基12,,,n12,,,n到基的并求向量在基下的坐标.12,,,n12(,,,)naaa第六章线性空间§4基变换与坐标变换11212100110(,,,)(,,,)111nn1210001100(,,,)01100001n而，∴1212100110(,,,)(,,,)111nn第六章线性空间§4基变换与坐标变换12,,,n12,,,n到基由基的过渡矩阵为1000110001100001故，由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为100110111第六章线性空间§4基变换与坐标变换12(,,,)naaa在基下的坐标就是12,,,n12(,,,)naaa设在基下的坐标为，则12,,,n12(,,,)nxxx111222111000110001100001nnnnxaaxaaaxaaa所以在基下的坐标为12,,,n1211(,,,)nnaaaaa第六章线性空间§4基变换与坐标变换例2在P4中，求由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵，其中1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)1234(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)第六章线性空间§4基变换与坐标变换解：设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),34(0,0,1,0),(0,0,0,1)则有1234123411112121(,,,)(,,,)11100111或11234123411112121(,,,)(,,,)11100111，第六章线性空间§4基变换与坐标变换1234123420211113(,,,)(,,,)02111222从而有1234(,,,)112341111202121211113(,,,)1110021101111222112341111202121211113(,,,)1110021101111222第六章线性空间§4基变换与坐标变换123410011101(,,,)01110010∴由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵为1001110101110010第六章线性空间§4基变换与坐标变换练习：已知的两组基：22P1112212210010000,,,;00001001EEEE1112212210111111,,,00001011FFFF求由基的过渡矩阵，1112,21221112,2122,,,,EEEEFFFF到并求矩阵在基下的矩阵.11122122,,,FFFF3542A第六章线性空间§4基变换与坐标变换解：1111121112211112212211122122FEFEEFEEEFEEEE1112,21221112,212211110111(,,)(,,)00110001FFFFEEEE1112,21223542AEEEE又设A在基下的坐标为1112,2122,,FFFF1234(,,,),xxxx第六章线性空间§4基变换与坐标变换1123411113011150011400012xxxx则812211003011050011400012即A在基下的坐标为1112,2122,,FFFF(8,1,2,2).