第3次 约束最优化最优性条件

最优性条件.定义：最优性条件指的是最优化问题的最优解（局部最优解或者全局最优解）所必须满足的条件.常见并常用的有一阶和二阶必要条件.约束极值问题一.ljxgmixhtsxfji,,2,10)(,,2,10)(..)(min,}0)(,0)(|{xgxhxQ令为此约束极值问题称Q1212()((),(),,()),()((),(),,()),TmTlhxhxhxhxgxgxgxgx记约束极值问题可记为则0)(0)(..)(minxgxhtsxf的可行域。0)(0)(0)(xhxhxhiii约束极值问题也可记为0)(..)(minxgtsxf约束极值最优性条件一个可行方向。处的为则称有使得对任意的，实数为一个向量。如果存在，设可行方向：000,],0[0xdQdxdQx0)(1xg0)(2xg0x1x1d1d2d2d1.可行方向0)(..)(minxgtsxf)1(。可行域为}0)(|{xgxQ000()0()0()0iiigxgxgx0()0igx0()Ux()0igx0()0igx0x()0igx1x2x{|()0}iRxgx()fx()0igx0x分析:应有若则在内,,则形成的边界,影响下一步选向.有此时各个方向均可选.,若是可行方向？如何判断一个向量是否可行方向。的是点则有，如果对任意的向量。给定的积极约束指标集为记点给定点定理xddxgxIidxIxQxTi,0)()()(,1：证明有则对任意的。令,)(0,'xIitdtxx)||||()()()'(2tdodxgtxgxgTiii)||||()(2tdodxgtTi0为可行方向。即dQx,'行下降方向。处的可为点的下降方向，则称的可行方向，又是该点处既是点，如果给定向量，设点可行下降方向：xdxddQx处的可行下降方向。是点则向量满足，如果向量。给定的积极约束指标集为记点给定点定理xddxfxIidxgddxIxQxTTi0)()(0)()(,2处没有可行下降方向。点）的局部极小点，则在是约束极值问题（续。如果处连在点处可微，在点和是其积极约束指标集。，设定理*1**)*)(()(*)*)(()()(*)(*3xxxxIixgxxIixgxfxIQxii极值点的必要条件：塔克条件）条件（库恩TK.2是其积极约束指标集。）的局部极小点，是约束极值问题（设点*)(1*xIx分析：。，使下式成立可知，不存在向量则由定理0)()(0)(2dxfxIidxgdTTi为积极约束。设中只有一个指标，不妨如果)(*)()1(1xgxI成立。使得则不存在向量0*)(0*)(1dxgdxfdTT0)(1xg*x*)(1xg*)(xf。则有0,*)(*)(1xgxf。即0*)(*)(1xgxf线性无关。和并设为积极约束。和中有两个指标，不妨设如果*)(*)()()(*)()2(2121xgxgxgxgxI0)(1xg0)(2xg*x*)(1xg*)(2xg*)(xf。使得，存在*)(*)(*)(,0221121xgxgxf。0*)(*)(*)(2211xgxgxf线性无关。设一般情况：}*)(|*)({)3(xIixgi使得则存在非负实数),*)((xIii0*)(*)(*)(xIiiixgxf式可改写为)2()2(lilixgxgxfiiiliii,,2,1,0,,2,1,0*)(0*)(*)(1)3(lilixgiii,,2,1,0,,2,1,0*)(;0*)(,0;0*)(,0xgxgiiii使其满足一组实数的局部极小点，则存在）是约束极值问题（线性无关。若处连续在点处可微，点在和，设条件）定理iiiixxIixgxxIixgxxIixgxfQxTK1*}*)(|*)({,*)*)(()(*)*)(()()(*(4lilixgxgxfiiiliii,,2,1,0,,2,1,0*)(0*)(*)(1)(点。称为式的点塔克条件），满足条件（库恩式称为TKTK)()(0)(0)(..)(minxgxhtsxf问题对于有等式约束的极值)4(条件可写为TKlilixgxgxhuxfiiiliiimjjj,,2,1,0,,2,1,0*)(0*)(*)(*)(11)(lilixgxgxhuxfiiiliiimjjj,,2,1,0,,2,1,0*)(0*)(*)(*)(11)(在大部分最优化研究的文献中，称最优解x所满足的一阶必要条件为Kuhn-Tucker条件，满足Kuhn-Tucker条件的点称为K-T点.K-T条件中的第二个等式称为互补松弛条件（complimentarily）.如果对于任意的1,2,,il，()igx和i有且仅有一个成立，即取0值，则称为严格互补松弛条件.点的计算TK.3例1求约束极值问题004..866)(min2121212221xxxxtsxxxxxf。点的TK解：。Txxxf]3,3[2)(212114)(xxxgTxg]1,1[)(1。Txgxxg]0,1[)(,)(212。Txgxxg]1,0[)(,)(323条件得由TK01001113332121xx条件及约束条件得由TK0,,,,4000)4(3321321212312211312211xxxxxxxxxx以下分情况讨论：:0)1(21xx若。可得由00)4(1211xx32132矛盾。这与02:0,0)2(21xx若03332112x022x022x矛盾。这与02:0,0)3(21xx若02333111x031x013x矛盾。这与03:0,0)4(21xx若032331211xx21xx421xx若01321xx4621xx矛盾。421xx221xx11点。为TKT]2,2[其它最优性条件.4，使得的非负实数在一组不全为零）的局部极小点，则存约束极值问题（是若。处连续在点处可微，在点和，设条件）定理iiixxxIixgxxIixgxfQxJohnFritz1**)*)(()(*)*)(()()(*(50*)(*)(*)(0xIiiixgxf2max()(4)16fxxx164例2用库恩-塔克条件解非线性规划212min()(4)()10()60fxxgxxgxx12()2(4),()1,()1fxxgxgx12,1212122(4)0(1)0(6)0,0xxx解变为,引入广义拉格朗日乘子则有若120,0,引出矛盾,无解;若120,0,1x,196fx;若120,0,4x,0fx;若120,0,6x,244fx;所以最大值点1x,最大值为9fx.作业用K-T条件解非线性规划2min()(3)05fxxx精品课件！精品课件！131212max()(1)0,0fXxxxxx(1,0)已知非线性规划的极大点为试(1)转化目标函数后,写出其K-T条件;(2)求出K-T点.,