数字信号处理习题答案

数字信号处理习题解答第1章时域离散信号与时域离散系统2．给定信号：2n+5－4≤n≤－160≤n≤40其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；（3）令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2－n)，试画出x3(n)波形。解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)x(n)=第1章时域离散信号与时域离散系统（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。(5)画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。题2解图（一）题2解图（二）第1章时域离散信号与时域离散系统题2解图（三）题2解图（四）3．判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。是常数AnAnx8π73cos)((1)解：（1）因为ω=π,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14314π273第1章时域离散信号与时域离散系统5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)解：（1）令输入为x(n－n0)输出为y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)=y′(n)故该系统是非时变系统第1章时域离散信号与时域离散系统因为y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］aT［x1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)bT［x2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)所以T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故该系统是线性系统。第1章时域离散信号与时域离散系统6．给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（2）y(n)=x(n)+x(n+1)解：该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,因此系统是稳定系统。7．设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。题7图第1章时域离散信号与时域离散系统解：解法（一）采用列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(n－m)m第1章时域离散信号与时域离散系统y(n)={－2,－1,－0.5,2,1,4.5,2,1;n=－2,－1,0,1,2,3,4,5}解法（二）采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)由于x(n)*δ(n)=x(n)x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)=2x(n)+x(n－1)+x(n－2)将x(n)的表示式代入上式，得到y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2)+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)第1章时域离散信号与时域离散系统8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(n－m)先确定求和域。由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的非零区间如下:0≤m≤3n－4≤m≤n根据非零区间，将n分成四种情况求解：m第1章时域离散信号与时域离散系统①n0时，y(n)=0②0≤n≤3时，y(n)=1=n+1③4≤n≤7时，y(n)=1=8－n④n7时，y(n)=0nm034nm最后结果为0n0或n7n+10≤n≤38－n4≤n≤7y(n)的波形如题8解图（1）所示。(2)y(n)=2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)=2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)y(n)的波形如题8解图（2）所示y(n)=题8解图（1）题8解图（2）第1章时域离散信号与时域离散系统(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5n－mu(n－m)=0.5nR5(m)0.5－mu(n－m)y（n）对于m的非零区间为0≤m≤4,m≤n①n0时，y(n)=0②0≤n≤4时，=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5nmmnmnmnny0115.015.015.05.0)(第1章时域离散信号与时域离散系统③n≥5时nnmmnny5.0315.05.015.015.05.0)(4015最后写成统一表达式：y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)13．有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)，式中，f=20Hz,j=π/2（1）求出xa(t)（2）用采样间隔T=0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号（3）画出对应的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。解：（1）xa(t)的周期为第1章时域离散信号与时域离散系统)(ˆtxa)(ˆtxas05.01fT（2）)(δ)π40cos()()π2cos()(ˆnTtnTnTtfnTtxnnajj（3）x(n)的数字频率ω=0.8π，故，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)画出其波形如题13解图所示。25π2第1章时域离散信号与时域离散系统题13解图14.已知滑动平均滤波器的差分方程为))4()3()2()1()((51)(nxnxnxnxnxny（1）（2）如果输入信号波形如题14图所示，试求出y(n)并画出它的波形。解：（1）将题中差分方程中的x(n)用δ(n)代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即第1章时域离散信号与时域离散系统)]4(δ)3(δ)2(δ)1(δ)([51)(nnnnnnh（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为kknhkxny)()()(表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中x(k)不动，h(k)反转后变成h(－k)，h(n－k)则随着n的加大向右滑动，每滑动一次，将h(n－k)和x(k)对应相乘，再相加和平均，得到相应的y(n)。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。题14图第1章时域离散信号与时域离散系统第2章时域离散信号和系统的频域分析5.设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示，不直接求出X(ejω)，完成下列运算或工作：（1))e(0jX(4)确定并画出傅里叶变换实部Re［X(ejω)］的时间序列xa(n)；解(1)6)()e(730jnnxX（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即nnjnxeXRjeee)()]([))()((21)(enxnxnx题15图第2章时域离散信号和系统的频域分析按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题15解图6．试求如下序列的傅里叶变换：)1(δ21)(δ)1(δ21)(2nnnnx第2章时域离散信号和系统的频域分析cos1)ee(211e211e21e)()e(jjjjj2j2nnnxX解：(2)8．设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。解：))()((21)(44enRnRnx))()((21)(44onRnRnx第2章时域离散信号和系统的频域分析题8解图xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。第2章时域离散信号和系统的频域分析13．已知xa(t)=2cos(2πf0t)，式中f0=100Hz，以采样频率fs=400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)；（2）写出和x(n)的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。解:(1))(ˆtxa)(txa)(ˆtxa)(ˆtxatttttxXtttttaade]ee[de)cos(2de)()j(jjjj0j00上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：)](δ)(δ[π2)j(00aX第2章时域离散信号和系统的频域分析（2）)(δ)cos(2)(δ)()(ˆ0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx-)cos(2)(0ms5.21radπ200π2s00fTf])(δ)(δ[π2)jj(1)(ˆs00ksksaakkTkXTjX（3）式中rad/sπ800π2ssf第2章时域离散信号和系统的频域分析)]π2(δ)π2([π2e]ee[e)cos(2e)cos(2e)()e(00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn式中ω0=Ω0T=0.5πrad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数δ函数才能写出它的傅里叶变换表示式。第2章时域离散信号和系统的频域分析14．求出以下序列的Z变换及收敛域:(1)2－nu(n)(2)－2－nu(－n－1)(3)2－nu(n)(4)δ(n)(5)δ(n－1)(6)2－n［u(n)－u(n－10)解(1)212112)(2)](2[ZT110zzzznununnnnnnn2121121222)1(2)]1(2[ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn(2)第2章时域离散信号和系统的频域分析2121122)(2)](2[ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4)ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞(5)ZT［δ(n－1)］=z－10|z|≤∞(6)021212))]10()((2[ZT11101090zzzznununnnn≤第2章时域离散信号和系统的频域分析15．求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。(1)x(n)=RN(n)N=4(2)x(n)=Arncos(ω0n+j)u(n)r=0.9,ω0=0.5πrad,j