电路 第四章 网络定理 2

第四章网络定理4－l线性和叠加定理4－2替代定理4－3戴维南定理和诺顿定理4－4特勒根定理4－5互易定理4－l线性和叠加定理线性网络：由独立电源和线性元件组成。具有线性性质:1.齐次性：单个激励(独立源)作用时，响应与激励成正比。2.可加性：多个激励同时作用时，总响应等于每个激励单独作用(其余激励置零)时所产生的响应分量的代数和。电路响应与激励之间的这种线性关系称为叠加性，它是线性电路的一种基本性质。)()()()(2211tektektektrmm有激励、、……，则响应r(t)为：)(1te)(2te)(tem图(a)电路的回路方程：)(S3S32121iiuiRiRR得R1上电流i11'1S212S2111iiiRRRuRRi其中由两项相加而成。由两个独立电源共同产生的响应，等于每个独立电源单独作用所产生响应之和。S212011S2101'1SS1iRRRiiuRRiiui叠加定理由全部独立电源在线性电阻电路中产生的任一响应(电压或电流)，等于每一个独立电源单独作用所产生的相应响应(电压或电流)的代数和。注意：1.适用于线性网络。非线性网络不适用。2.某一激励单独作用时，其他激励置零，即独立电压源短路，独立电流源开路；电路其余结构都不改变。3.任一激励单独作用时，该电源的内阻、受控源均应保留。6.只适用于电压和电流，不能用于功率和能量的计算，它们是电压或电流的二次函数。4.受控源不能单独作用。5.叠加的结果为代数和，注意电压或电流的参考方向。例1已知us＝12V，is＝6A，试用叠加定理求支路电流i。解当us单独作用时，is因置零而被开路，如图(b)，可得故i'=1Ausus当is单独作用时，us因置零而被短路，如图(c)，可得响应分量i’’=3A根据叠加定理，可得us和is共同作用下的响应为i=i’+i’’=1+3=4A例2No为线性无源网络。当us＝1V，is＝1A时，u＝0；当us＝10V，is＝0时，u＝1V；求:当us＝20V，is＝10A时，u＝？ssikuku21解线性网络的响应v可表示为k1,k2为常数No+-uSiS+u-由已知条件可得：k1×1＋k2×1＝0k1×10＋k2×0＝1解方程组可得：k1＝0.1，k2＝－0.1因此,当us＝20V，is＝10A时u＝k1×20＋k2×10＝1V例3r=2，用叠加定理求i和功率p3解：12V和6A单独作用如图(b)和(c)。(每个电路内均保留受控源，但控制量分别改为分电路中的相应量)。由图(b)列出KVL方程031212'''iii求得：V63A2'''iui由(c)列出KVL方程0)6(312''iii求得:最后得到：15VV9V61A3AA2''''uuuiiiV9)6(3A3''''''iui则：Wiup75)16(15)6(在具有唯一解的任意集总参数网络中，若某条支路k与网络中的其他支路无耦合，如果已知该支路的支路电压（支路电流），则该支路可以用一个电压为的独立电压源（电流为的独立电流源）替代，替代前后电路中各支路电压和电流保持不变。kukiki4－2替代定理ku注意：1.适用于任意集总参数网络（线性的、非线性的，时不变的、时变的）3.“替代”与“等效变换”是不同的概念。“替代”是特定条件下支路电压或电流已知时，用相应元件替代支路。等效变换是两个具有相同端口伏安特性的电路间的相互转换，与变换以外电路无关。2.所替代的支路与其它支路无耦合4.已知支路可推广为已知二端网络（有源、无源）。大网络成小网络N1N1N2N2+-u+-u+-uN1N1N2N2iii例4无源网络No的22’端开路时，11’端的输入电阻为5Ω;如左图11'端接1A时，22'端电压u=1V。求右图11'端接5Ω、10V的实际电压源时，22'端的电压u’=?1A11’22’+u-No5Ω11’22’+u’-No+10V-i'解：22’端开路时，11’端的输入电阻为5Ω，因此右图中流过实际电压源支路的电流i'为i'=1A实际电压源支路用1A的电流源替代，u'不变，替代后的电路与左图相同，故u'=u=1V1A11’22’+u-No5Ω11’22’+u’-No+10V-i'例5图(a)电路中g=2S。试求电流I。解：用分压公式求受控源控制变量UV6V8626U用gU=12A的电流源替代受控源，图(b)不含受控电源，求得A7A44812444I例在图(a)电路中,若要求。试求电阻IIx18Rx?＋－RSUSRx1IIx0.50.50.5(a)解：由题意和替代定理，得图(b)。Ux1I0.50.50.5I8－＋(b)在图(b)电路中,应用叠加定理：Ux1I0.50.50.5I8－＋(b)电流源I单独作用Ux’1I0.50.50.5－＋得Ux’1I0.50.50.5－＋IIIUx1011)5.05.0()5.01()5.05.0(5.0)5.05.0()5.01()5.01(电流源单独作用I8Ux”10.50.50.5I8－＋IIUx403)5.05.0()5.01()5.05.0)(5.01(8得IIIUUUxxx401403101'51xxxIUR4－3戴维南定理和诺顿定理任一线性有源二端网络N，就其两个输出端而言总可与一个独立电压源和线性电阻串联的电路等效，其中独立电压源的电压等于该二端网络N输出端的开路电压，电阻Ro等于N内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻。4-3-1戴维南定理uOC端口电压电流关联ocouiRu证明如下:。端口支路用电流源i替代,如图(a)，根据叠加定理，电流源单独作用产生u’=Roi[图(b)]，网络内部全部独立电源共同作用产生u”=uoc[图(c)]。由此得到oco'uiRuuu例6求图(a)网络的戴维南等效电路。解：开路电压uoc的参考方向如图(a)，由i=0，可得V3221ocu电压源用短路代替，电流源用开路代替，得图(b)，求得6321oR可画出戴维南等效电路，如图(c)。例7r=2，试求戴维南等效电路。解：求uoc：A21iV4221ocriu求Ro：电压源置零，保留受控源，图(b)。加电流，求电压u。由于i1=0，所以u=2i1=0。由此求得00oiiuR等效为一个4V电压源，如图(c)。求R0小结：1.串、并联法2.加压求流法，或加流求压法。3.开短路法。4两点法。ui4-3-2诺顿定理任一线性有源网络N，就端口而言，可以等效为一个电流源和电阻的并联。电流源的电流等于网络外部短路时的端口电流isc；电阻Ro是网络内全部独立源为零时，No的等效电阻。isc——短路电流。Ro——诺顿电阻。电流源isc和电阻Ro的并联，称为网络的诺顿等效电路。电压电流采用关联参考方向时，sco1iuRi例8求图(a)网络的诺顿等效电路。解：求isc，网络外部短路，如图(a)。2S3S1S2112S32sciRuiRRRiiii求Ro，图(b)求得321321o)(RRRRRRR画出诺顿等效电路，如图(c)所示。含源线性电阻单口网络的等效电路只要确定uoc,isc或Ro就能求得两种等效电路。oocscscoocscocoRuiiRuiuR戴维南定理和诺顿定理注意几点：1.被等效的有源二端网络是线性的，且与外电路之间不能有耦合关系2.求等效电路的Ro时，应将网络中的所有独立源置零，而受控源保留3.当Ro≠0和∞时，有源二端网络既有戴维南等效电路又有诺顿等效电路，并且、isc和Ro存在关系：，ocu4.作为定理，一个电路可以应用多次。5.一般端电压与开路电压不相等。RLocLoLuRRRu+－Roocuu例9用戴维南定理求电路中的电流i。解电路a、b以左电路部分化简。1.求开路电压uoc12i14+10V--6i1+abi4(a)12i14+10V--6i1+(b)+uoc-由图b可得受控源的控制量i1为i1＝2A故uoc＝6i1+4i1=20V12i1’4-6i1’+(c)+u’-i’2.求电阻Ro图b网络的独立电压源置零,得图c，设端口电压为u'，端上电流为i'则u'＝6×i1'＋2×i'＋4×i1'由1Ω和4Ω分流关系可得i1'＝0.2i'因此u’＝4i’即Ro＝4Ω3.求i由戴维南定理可将图a化简为图dAi5.244204+20V-abi4(d)例：试求图(a)的戴维南等效电路。b1K0.5i1i11K+10V-a(a)解：节点法求开路电压。解得111105.0110)1111(iKuiKuKKococVuoc6加压求流法求等效内阻。1K0.5i1i11K－+a(b)bi11115.2Kiuii列方程：解得：RKo04.u如果要用开短路法，求短路电流。+10V-1K0.5i1i11Ka(c)iSC1510111.iiiKSC列方程：解得：imASC15例：图(a)电路中，N为有源线性二端网络，已知：若A、B开关都打开时，I=0.1A;若A打开，B闭合时，I=0.125A;试求：若A闭合，B打开时，I=?INAB6020解：法1：应用替代定理和叠加定理(a)I=0.1AN8V+－INAB6020(a)(b)由题意，A、B都打开时，应用替代定理，如图(b)所示；设N中电源单独作用时产生的电流为x;单位电压源作用时产生的电流为y。则有xy(.).800101I=0.125AN7.5V+－INAB6020(a)(c)同理，A打开，B闭合时，应用替代定理，如图(c)所示；则，有方程为xy(.).6001250125两方程联立xyxy(.).(.).8001016001250125(a)解得：xy05005..则，所求电流为IxIyA20025.法2：应用戴维南定理。则得图(d):INAB6020RouOCI=0.1AN80RouOC(d)得方程1.0)80/(oOCRu同理，得图(e)：I=0.125AN60RouOC(e)得方程125.0)60/(oOCRu两方程联立：125.0601.080oOCoOCRuRu解得：2010oOCRu解得：得：IA102020025.4-3-3最大功率传输条件Ro+uoc-abiRL负载电阻吸收的功率欲获得最大功率，LLoocLRRRuRip2202dd242ocoLoLLoLLuRRRRRRRRp可得最大功率传输条件：RL＝RooocRup42max此时，负载获最大功率为：此时对于等效电路而言:效率为50%。例10RL=?，负载获最大功率,PLmax=？解a、b以左化为等效戴维南电路。1.求开路电压uoc1050+10V-0.04vabRL+u-uoc＝12.5V1050+10V-0.04vocab+uoc-节点法OCOCuu04.01010)501101(得2.求电阻Ro先求iscisc＝1ARo＝uoc/isc=12.5Ω1050+10V-0.04vab+u-isc由于u=0，受控源开路3.当RL=Ro=12.5Ω时，负载获最大功率WRupooc125.35.1245.12422max4-4特勒根定理特勒根第一定理(功率守恒)：任意一个具有b条支路、n个节点的集总参数网络，设它的各支路电压和电流分别为和(k＝1、2、3、…b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则有ki01kbkkiuku特勒根第二定理(似功率守恒)：0'1bkkkiu0'1bkkkiu和支路电压和