第四章大数定律与中心极限定理

概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组第四章大数定律与中心极限定理内容1特征函数内容2大数定律内容3随机变量序列的两种收敛性内容4中心极限定理概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.1特征函数一、特征函数的定义1.定义4.1.1设是一个随机变量称，-∞t+∞，为的特征函数。注因为，所以总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的。XitX(t)=E(e)XitXe1itXE(e)4.1特征函数概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.1特征函数2.特征函数的求法（1）当离散随机变量的分布列为Pk=P（=xk)，k=1，2，…，则的特征函数为φ(t)=，-∞t+∞。（2）当连续随机变量的密度函数为p(x)，则的特征函数为φ(t)=，-∞t+∞。XXXkkitxPek1XXdxxPeitx)(概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组例4.1.1(1)单点分布：P(=a)=1，其特征函数为φ(t)=eita。(2)0–1分布：P(=x)=px(1-p)1–x，x=0，1，其特征函数为φ(t)=peit+q，其中q=1–p。XX4.1特征函数概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.1特征函数(3)泊松分布P(λ)：P(=k)=，k=0，1，…，其特征函数为φ(t)===。(4)标准正态分布N(0,1)：因为密度函数为p(x)=，-∞x+∞。所以特征函数为φ(t)==。Xekk!0!kiktkeekiteee(1)itee2221xedxexitx222122te概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组二、特征函数的性质性质4.1.1|φ(t)|≤φ(0)=1。性质4.1.2φ(-t)=，其中是φ(t)的共轭。性质4.1.3若Y=a+b，其中a，b是常数，则。性质4.1.4独立随机变量和的特征函数为特征函数的积，即设X与Y相互独立，则。性质4.1.5若E(Xl)存在，则X的特征函数可l次求异，且对1≤k≤l，有φ(k)(0)=ikE(Xk)。)(t)(tXibt(t)=e(at)YX(t)=(t)(t)XYXY4.1特征函数概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组注上式提供了一条求随机变量的各阶矩的途径，特别可用下式去求数学期望和方差。2'(0)();()''(0)('(0)).EXVarXi4.1特征函数概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组定理4.1.1（一致连续性）随机变量X的特征函数φ(t)在(-∞，+∞)上一致连续。定理4.1.2（非负定性）随机变量X的特征函数φ(t)是非负定的。定理4.1.4（唯一性定理）随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。4.1特征函数概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组例4.1.2试利用特征函数的方法求伽玛分布Ga(α，λ)的数学期望和方差。解:因为Ga(α，λ)的特征函数φ(t)=，φ‘(t)=；φ‘(0)=；φ’(t)=；φ‘’(0)=，所以由性质4.1.5得)1(it1)1(iii222)1()1(iti2)1(22'(0)();()''(0)('(0)).EXVarXi4.1特征函数概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.2大数定律一、何谓大数定律（大数定律的一般提法）定义4.2.1设为随机变量序列，若对任意的,有(4.2.5)则称服从大数定律。{}nX01111lim()1.nniiniiPXEXnn{}nX概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.2大数定律二、切比雪夫大数定律定理4.2.2（切比雪夫大数定律）设为一列两两不相关的随机变量序列，若每个的方差存在，且有共同的上界，即,则服从大数定律，即对任意的，式(4.2.5)成立。利用切比雪夫不等式就可证明。此处略。{}nXiX(),1,2,iVarXci{}nX0概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.2大数定律推论（定理4.2.1：伯努利大数定律）设为n重伯努利试验中事件A发生的次数，P为每次试验中A出现的概率，则对任意的，有分析服从二项分布，因此可以把表示成n个相互独立同分布、都服从0–1分布的随机变量的和。n0lim1.nnPpnnn概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.2大数定律三、马尔可夫大数定律定理4.2.3（马尔可夫大数定律）对随机变量序列，若马尔可夫条件成立，则服从大数定律，即对任意的，式(4.2.5)成立。证明利用切比雪夫不等式就可证得。{}nX211()0niiVarXn0{}nX概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.2大数定律例4.2.3设为一同分布、方差存在的随机变量序列，且仅与和相关，而与其他的不相关，试问该随机变量序列是否服从大数定律？解:可证对，马尔可夫条件成立，故由马尔可夫大数定律可得服从大数定律。{}nX1nX1nXiXnX{}nX{}nX{}nX概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.2大数定律四、辛钦大数定律定理4.2.4（辛钦大数定律）设为一独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则服从大数定律，即对任意的，式(4.2.5)成立。{}nX0{}nX{}nX概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.3随机变量序列的两种收敛性一、依概率收敛1.定义4.3.1（依概率收敛）设为一随机变量序列，Y为一随机变量。如果对于任意的，有则称依概率收敛于Y，记做YnY。注随机变量序列服从大数定律。{}nX0lim1.nnPYY{}nXP1111()0nnPiiiiXEXnn概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.3随机变量序列的两种收敛性2.依概率收敛的四则运算定理4.3.1设，{Yn}是两个随机变量序列，a，b是两个常数。如果a，{Yn}b，则有(1)(2)(3){}nXP;PnnXYab;PnnXYab(b0).PnnXYab{}nXP概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.3随机变量序列的两种收敛性二、按分布收敛、弱收敛1.定义4.3.2设{Fn(x)}是随机变量序列的分布函数列，F(x)为的分布函数。若对F(x)的任一连续点x，都有Fn(X)=F(x)，则称{Fn(x)}弱收敛于F(x)，记做Fn(X)F(x)。也称按分布收敛于，记做。{}nXXlimnl{}nXX{}nXX概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.3随机变量序列的两种收敛性2.依概率收敛与按分布收敛间的关系(1)定理4.3.2。(2)定理4.3.3若为常数，则PlnnXXXXcPlnnXcXc概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组三、判断弱收敛的方法定理4.3.4分布函数序列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(X)的充要条件是{Fn(x)}的特征函数序列{φn(t)}收敛于F(x)的特征函数φ(t)。这个定理的证明只涉及数学分析的一些结果，参阅教材后文献[1]。4.3随机变量序列的两种收敛性概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.3随机变量序列的两种收敛性例4.3.3若，证明~()XP221lim.2txXPxedt概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.4中心极限定理一、中心极限定理概述研究独立随机变量和的极限分布为正态分布的命题。二、独立同分布下的中心极限定理定理4.4.1（林德贝格-勒维中心极限定理）设是独立同分布的随机变量序列，且记则对任意实数y，有{}nX2(),()0.iiEXVarX*12.nnXXXnYn2*21lim().2tynnPYyyedt概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.4中心极限定理三、二项分布的正态近似(1)定理4.4.2（棣莫弗-拉普拉斯极限定理）设n重伯努利试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p(0p1)，记为n次试验中事件A出现的次数，且记则对任意实数y，有证明由林德贝格-勒维中心极限定理容易证得。n*nnnpYnpq2*21lim().2tynnPYyyedt概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组4.4中心极限定理(2)近似中的修正二项分布在和时，由中心极限定理用正态分布近似较好，因为二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似计算中，作些修正可以提高精度。若均为整数，一般先作如下修正后再用正态近似np5n(1-p)512kk2112120.50.5()(0.50.5)nnknpknpPkkPkknpqnpq概率论精品课概率论精品课课件贵州师大数计学院概率论教学组贵州师范大学数学与计算机科学学院