第六讲 雨中行走策略

雨中行走策略连云港师专数学与应用数学系雨中行走策略一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑是不是最好的策略？试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。一、建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最少。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。二、模型假设及符号说明1、把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。淋雨总量用C升来记。2、降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上降下雨水的厚度。在这里可视其为一常量。3、风速保持不变。4、你以恒定的速度v米/秒跑完全程D米。三、模型建立与计算2122()()0.01(/)(/)3600SwhdhwhDtVIIImhms、不考虑降雨方向的情况。（你的前后左右和上方都淋雨）淋雨面积：米雨中行走的时间：秒降雨强度：（cm/h）=0.013210()3600360010002/1.50.50.22.2SItDISVDISVDmIcmhhmwmdmSm0.01淋雨总量：C=米（升）（模型中，，为参数，而为变量。）结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。若取，，，，，计算。你在雨中行走的最大速度v=6米/秒，则计算得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。从而可以计算被淋的雨水总量为C=2.041升。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因是什么呢？(/),,(1),rmsppIIrp原因：不考虑降雨方向的假设，使问题过于简单化。2、考虑降雨方向若记雨滴下落速度为雨滴的密度为表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数，即。雨滴下落的反方向dwhθ人前进的方向2sin(sin)(cos)(sin(cos))DwdprDvvwdrDwhprvvDpwdrhrvCv121因为考虑了降雨的方向，淋雨的部位只有顶部和前面，分两部分计算淋雨量：1）顶部的淋雨量C表示在雨中行走的时间，表示顶部面积，表示雨滴垂直下落的速度2）前表面淋雨量C淋雨总量C=C6404/,23600/,1.39106.9510(0.8sin6cos1.5)190(0.8/1.5)rmsIcmspCvvvCv-4若取则可以看到：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定，如何选择，使得最小。）当时，C=6.9510结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。430436/11.3101.132606/14.7101.47msCmmsCm-4假设你以的速度在雨中猛跑，则计算得升6.6510（1.5+（0.43+3））当时，C=）V结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以的速度在雨中猛跑，则计算得升000039018090,90C-4000-4-4）当时，雨滴将从后面向你落下。C=6.9510（（0.8sin+6cos）/v+1.5）令=+90，则00.8sin(90+)+6cos(90+)C=6.9510（+1.5）v=6.9510（（0.8cos6sin）/v+1.5）当0时，可能取负值，这是不可能的。sin(sin)(cos(sin))vrDpwhrvvDpwdrhrvCv出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到你身上的情形，对于这种情况还需再讨论。1）当行走的速度慢于雨滴的水平运动速度，即，雨滴将淋在你背上，而淋在背上的雨水量是C=淋雨总量为40cos2)sinsin6.95100.8cos4sin302/DwdprvrrCms0当时，C取最小值C=再次代入数据，得结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。特例，若雨滴是以120的角度落下，即雨滴以的角度从背后落下，你应该以的速度行走。sin(sin)cossin()1)cossin0,vrDpwhvrvdrhDpwrvvdrv此时，淋雨量为C=0.24升。这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即时，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。淋雨量是C=淋雨总量为C=当尽可能大时，C才可能小。0cossin0,sinsin6/,30drvvrrCvms2）当尽可能小时，C才可能小。而时，只有v，才可能小。取时，则淋雨量C=0.77升。结论：若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑，若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于雨滴速度的水平分量。注：关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。学生练习与实践在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如田七牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这种现象。1）分析商品价格c与商品重量w的关系，价格由生产成本，包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比有的与表面积成正比，还有与w无关的因素2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小，解释实际意义是什么。主要参考文献：姜启源：数学模型.高等教育出版社（第二版），1993.8