数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明：1212121751531311nnnn．证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．②假设n=k时，等式成立，即：1212121751531311kkkk．当n=k+1时．3212112121751531311kkkk3212112kkkk321211232121322kkkkkkkk1121321kkkk这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，综合上述，等式成立.例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论．解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．60322426321211aaaaaa，解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n=k时，等式成立，即a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)那么当n=k+1时，a1+2a2+3a3+…+kak+(k+1)ak+1=k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3]=(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]这就是说，当n=k+1时，也存在．综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．例3．证明不等式nn2131211(n∈N)．证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．左边右边，不等式成立．②假设n=k时，不等式成立，即kk2131211．那么当n=k+1时，11131211kk1112112kkkkk12112111kkkkkk这就是说，当n=k+1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．例4.。解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。（2）假设当时命题成立，即，那么当时，左边。上式表明当时命题也成立。由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。例5.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立。解析：①当时，左=，右，左右，∴不等式成立。②假设时，不等式成立，即，那么当时，，∴时，不等式也成立。由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。例6.若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。解析：取，。令，得，而，所以取，下面用数学归纳法证明，，（1）时，已证结论正确（2）假设时，则当时，有，因为，所以，所以，即时，结论也成立，由（1）（2）可知，对一切，都有，故a的最大值为25。*例7．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．证明：①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．