高考数学排列组合及组合数性质人jiao版)

第二节排列与组合三年9考高考指数:★★★1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的应用是考查重点；2.常与其他知识交汇命题，考查分类讨论思想；3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中和概率相结合进行考查.1.排列与排列数公式(1)排列与排列数：(2)排列数公式：=______________________=_______.(3)排列数的性质：①=___;②0!=__.顺序个数mnAn(n-1)(n-2)…(n-m+1)n!(nm)!n!1nnA【即时应用】(1)思考：排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数.(2)设x,m∈N*，且m＜19＜x,则(x-m)(x-m-1)…(x-19)用排列符号可表示为______.【解析】由排列数公式的特征，下标是“连乘数”最大数x-m，上标是“连乘数”的个数，即(x-m)-(x-19)+1=20-m.答案：20mxmA(3)从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有______种.【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有=186(种).答案：1863374AA(4)一条铁路原有m个车站，为了适应客运需求新增加了2个车站，则客运车票增加了58种，那么原有车站______个.【解析】根据题意得：=58,即(m+2)(m+1)-m(m-1)=58,即m=14.答案：1422m2mAA2.组合与组合数公式(1)组合与组合数：(2)组合数公式：=_______________________=___________.(3)组合数的性质：①=__;②=_____;③=_____.合成一组个数mmnnmmACAnn1n2nm1m!n!m!nm!0nC1mnCnmnCmm1nnCCmn1C【即时应用】(1)若则x=______.(2)某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门课程由于上课时间相同，所以至多只能选一门.学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是______.(3)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为______.2x7x2020CC,【解析】(1)由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.(2)分两类：第一类A、B、C三门课程都不选，有=35种方案；第二类A、B、C三门课程中选一门，剩余7门课程中选两门，有=63种方案.故共有35+63=98种方案.37C1237CC(3)方法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为=2×4+1×6=14.方法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为=15-1=14.答案：(1)7或9(2)98(3)1413222424CCCC・・46C44C4464CC3.排列问题与组合问题的区别区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是______问题，否则是______问题.排列组合【即时应用】(1)由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，三位数字之和为奇数的共有______个.(用数字作答)(2)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有______种不同的方法.(用数字作答)(3)某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是______.(用数字作答)【解析】(1)根据题意，所选的三位数字有两种情况：①3个数字都是奇数，有种方法；②3个数字中有一个是奇数，有种，故共有＝24个.(2)由题意，可知因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有=1260种.(3)根据题意，共有＝20种不同排法.答案：(1)24(2)1260(3)2033A1333CA313333ACA＋423953CCC25A排列数、组合数公式的应用【方法点睛】排列数、组合数公式的特点及适用范围(1)排列数公式右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数.公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；mnn!Anm!(2)组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，乘积形式分母为m！，分子左边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数，多用于数字计算.阶乘形式多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证.【例1】(1)组合数(n＞r≥1,n、r∈N*)恒等于()(A)(B)(C)(D)(2)若则x=______.(3)=______.r1n1r1Cn1r1n1n1r1Cr1n1nrCr1n1nCrxx299A6A,n12n32n3n1CCrnC【解题指南】(1)(2)利用排列数和组合数的公式及意义求解，(3)中注意n的取值范围.【规范解答】(1)选D.rnn!Cr!nr!r1n1n1!nnC.rr1!n1r1!r［］(2)原方程即也就是化简得x2-21x+104=0,解得x=8或x=13,又因为2≤x≤9,且x∈N*,所以x=8.答案：89!9!6,9x!11x!16,9x!11x10x9x！(3)若有意义，则解得2≤n≤4.当n=2时，有当n=3时，有当n=4时，有答案：4或7或11n12n32n3n1CC*0n12n302n3n1,nN1113CC4；2334CC7；3555CC11.【反思・感悟】1.在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解.2.应注意或x+y=n两种情况.xynnCCxy排列问题的应用【方法点睛】解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.【例2】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须相邻；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.【解题指南】(1)无限制条件的排列问题直接应用公式；(2)先排前排再排后排；(3)“在”与“不在”的问题，采用“优先法”；(4)(5)(6)“邻”与“不邻”的问题，采用“捆绑法”或“插空法”.【规范解答】(1)从7个人中选5个人来排列，有=7×6×5×4×3=2520种.(2)分两步完成，先选3人排在前排，有种方法，余下4人排在后排，有种方法，故共有=5040种.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.57A37A3474AA44A(3)(优先法)方法一：甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有种方法，故共有5×=3600种.方法二：排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有种方法，共有=3600种.66A26A55A2565AA66A(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法，再将4名女生进行全排列，也有种方法，故共有=576种.(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有=1440种.44A44A4444AA44A35A4345AA(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方法，故共有=720种.22A35A33A233253AAA【反思・感悟】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可，但要看清是全排列还是选排列问题；有限制条件的排列问题，用直接法或间接法.组合问题的应用【方法点睛】组合问题的常见题型(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？【解题指南】(1)(2)是“在”与“不在”的问题，采用“直接法”；(3)可分两步；(4)(5)是“至少”、“至多”型问题，采用“间接法”.【规范解答】(1)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有＝36种选法.(2)由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有＝126种选法.(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有种选法，再从余下的9人中选4人，有种选法，所以共有＝378种选法.29C5499CC＝13C49C1439CC(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有种，再减去A，B，C三人都不入选的情况种，共有＝666种选法.(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有种，再减去A，B，C三人都入选的情况有种，所以共有＝756种选法.512C55129CC－59C512C29C52129CC－【反思・感悟】1.对“组合问题”恰当地分类计算，是解组合题的常用方法；2.解题时既要灵活选用直接法或间接法，又要常常结合两种计数原理.排列、组合问题的综合应用【方法点睛】解排列组合的应用题应注意的问题(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；(2)深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同.【提醒】排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.【例4】(1)(2012・东莞模拟)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有______种．(用数字作答)(2)(2012・泰安模拟)有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分