高考数学核心考点集锦课件：第7讲 三角恒等变换与解三角形

第2讲三角恒等变换与解三角形◆三角恒等变换是高考考查三角内容的一个基本要求，它的基本题型包括：求值、化简、恒等式证明．◆三角恒等变换在高考中可直接出题，也可结合三角函数图象和性质进行综合考查．◆利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形．◆在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查，其难度以中低档题为主．1．(2011·辽宁)设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝()．A．－79B．－19C.19D.79解析法一sinπ4＋θ＝13，即22(sinθ＋cosθ)＝13，两边平方得12(1＋sin2θ)＝19，∴sin2θ＝－79.法二sin2θ＝－cos2π4＋θ＝2sin2π4＋θ－1＝29－1＝－79.答案A2．(2011·浙江)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()．A.33B．－33C.539D．－69解析cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2，∵0απ2，则π4π4＋α3π4，∴sinπ4＋α＝223.又－π2β0，则π4π4－β2π2，则sinπ4－β2＝63.故cosα＋β2＝13×33＋223×63＝539.答案C3．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析由sinC＝23sinB，根据正弦定理，得c＝23b，把它代入a2－b2＝3bc得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b243b2＝32.又∵0°A180°，∴A＝30°.答案A4．(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝()．A．23B．22C.3D.2解析依题意可得sin2A·sinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB＝2sinA，∴ba＝sinBsinA＝2.答案D5．(2011·天津)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为()．A.33B.36C.63D.66解析设BD＝1，则AB＝AD＝32，BC＝2.在△ABC中，解得sinA＝223，在△ABC中，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得sinC＝66.答案D6．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．解析∵sinB＋cosB＝2sinπ4＋B＝2，∴sinπ4＋B＝1.又0Bπ，∴B＝π4.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝2×222＝12.又ab，∴AB，∴A＝π6.答案π6两角和与差的正弦、余弦和正切公式cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.(1)对于两角和与差的正切公式来说，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式处理有关问题，应改用诱导公式或其他方法来解．(2)要辨证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(α＋β)－(β－α)等．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.(2)降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2.正弦定理、余弦定理(1)正弦定理及其变形：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R是外接圆的半径)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)余弦定理及其变形：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC；cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab.(3)三角形的面积公式：S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.(4)三角形中的常用结论：①A＋B＋C＝π；②sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC；③角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(1)在△ABC中，AB⇔sinAsinB，若没有条件“在△ABC中”，它就不成立．(2)当用正、余弦定理判断三角形形状时，特别注意当转化为角来解决时，不要忽视角的范围．三角恒等变换及求值三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题．【例题1】►已知A，B，C是△ABC三内角，向量m＝(－1，3)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1.(1)求角A；(2)若1＋sin2Bcos2B－sin2B＝－3，求tanC.解(1)∵m·n＝1，∴(－1，3)·(cosA，sinA)＝1.即3sinA－cosA＝1,2sinA·32－cosA·12＝1，得sinA－π6＝12.∵0Aπ，－π6A－π65π6.∴A－π6＝π6，即A＝π3.(2)由题设知1＋2sinBcosBcos2B－sin2B＝－3，整理得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0.∴cosB≠0，tan2B－tanB－2＝0，∴tanB＝2，或tanB＝－1.而tanB＝－1使cos2B－sin2B＝0，故应舍去．∴tanB＝2，从而tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝8＋5311.利用两角和与差的三角函数公式时，常有如下变形：①1±sinα＝sinα2±cosα22；②asinθ＋bcosθ＝a2＋b2sin(θ＋φ)tanφ＝ba.【变式1】►(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解(1)由题设知：f5π4＝2sin5π12－π6＝2sinπ4＝2.(2)由题设知：1013＝f3α＋π2＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sinβ＋π2＝2cosβ，即sinα＝513，cosβ＝35.又α，β∈0，π2，∴cosα＝1213，sinβ＝45，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1213×35－45×513＝1665.正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可以是小题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是大题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．正弦定理、余弦定理的应用【例题2】►(2011·山东)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面积S.解(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)·cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×14.解得a＝1，从而c＝2.又因为cosB＝14，且0Bπ，所以sinB＝154.因此S＝12acsinB＝12×1×2×154＝154.(1)利用正弦定理，将角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB，用c替换sinC．sinA，sinB，sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分．(2)求角的大小一定要有两个条件：①角的范围；②角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．【变式2】►(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)·sinC.(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值．解(1)由已知，根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝－12，又0°A180°，故A＝120°.(2)由(1)得sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝32cosB＋12sinB＝sin(60°＋B)．故当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．正、余弦定理的实际应用【例题3】►如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里．∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，∴∠ADB＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB.∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋sin60°cos45°＝531＋31＋32＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里．在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900.∴CD＝30海里，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．解斜三角形应用题应注意：(1)准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、方向角等，然后根据题意画出图形．(2)把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，建立数学模型求解．注意：算法要简练，运算要准确．【变式3】►(2011·揭阳模拟)如图，某人在塔的正东方向上的C处与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每分钟100米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠