中学数学的逻辑基础

第四章中学数学的逻辑基础“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的来说是这样。”－－恩格斯形式逻辑是研究思维形式(概念、判断、推理、证明)及其规律(同一律、矛盾律、排中律、充足理由律)的一门科学，数学有其自身特有的逻辑系统，具有严密的逻辑性。对于中学数学教师来说，首先应该掌握中学数学逻辑的有关基础知识。第四章中学数学的逻辑基础§4.1中学数学概念§4.2中学数学命题§4.3形式逻辑的基本规律§4.4中学数学推理§4.5中学数学证明§4.6中学数学概念与命题的教学§4.7中学数学思维§4.1中学数学概念一、概念的意义1、概念：是反映客观事物本质属性的思维形式。2、数学概念：现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。3、从数学概念产生的客观背景来说，一般有两种情形：⑴直接从客观事物的空间形式或数量关系反映来的。如几何中的点的概念，算术中的自然数概念等。⑵在原有的数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而形成的。如近代数学中的群、环、域概念等。4、数学概念的特点：⑴数学概念具有抽象性与具体性。⑵数学概念具有相对性与发展性。⑶数学概念的定义、名词、符号“三位一体”，处于一个完整的科学体系之中。§4.1中学数学概念二、概念的结构1、概念分为概念的内涵和概念的外延两部分内涵：是指表达这个概念所包含的所有对象的共同属性的总和(或集合)。反映了概念的质外延：概念所反映事物的范围(或集合)。即适合这个概念的一切对象的全体。反映了概念的量2、概念的内涵和外延的关系⑴内涵扩大，则外延缩小。叫做概念的限定。通常为了加深对某个概念认识或用较一般的概念来说明特殊的概念。⑵内涵缩小，则外延扩大。叫做概念的概括。从特殊的概念认识一般的概念，或者为了认识同类概念的共同性质。⑶只有在两个概念有从属关系时才成立。§4.1中学数学概念三、概念间的关系概念间的关系是指概念的外延间的关系1、同一关系：两概念外延完全重合。2、交叉关系：有且只有一部分外延重合。3、从属关系：一个概念的外延完全包含在另一个概念的外延之中。⑴在从属关系中外延大的概念叫做上位概念(或种概念)，外延小的概念叫做下位概念(或类概念)。矩形菱形两组对边平行有一个角是直角四边形平行四边形⑵类差：一个概念的本质属性中用以区别于其它的类概念的属性，叫做类差。4、矛盾关系：两个概念外延互相排斥，但外延之和等于其最邻近的种概念的外延。§4.1中学数学概念四、概念的定义1、给概念下定义:用已知的概念来认识未知概念，使未知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义。概念的定义都是由下定义的概念(已知概念)与被下定义的概念(未知概念)这两部分组成。⑴定义是建立概念的逻辑方法。⑵下定义的模式有两种：一是通过揭示概念的内涵来给出定义，二是通过揭示概念的外延来给出定义。2、定义的几种方式⑴“种+类差”定义法：根据概念的从属关系，规定被定义概念的上位概念中是邻近的种概念，然后指出被定义概念在它的种概念里区别于其他类概念的本质属性的一种定义方法。如平行四边形。§4.1中学数学概念四、概念的定义2、定义的几种方式⑵发生定义：把只属于被定义事物，而不属于其它任何事物的发生或形成的特有属性作类差的定义。如：代数式的值的定义。平面(空间)上与定点等距离的点的轨迹叫做圆(球)。圆柱、圆锥、微分、积分、坐标系等。⑶逆式定义法：是通过列举概念的全部对象，即给出概念外延的定义法。也叫做归纳定义法或外延定义法。在外延定义中，DS是种，而DP是DS诸邻近类概念的总和。如：整数与分数统称为有理数，实数的定义；正弦、余弦、正切、余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线、抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等。§4.1中学数学概念四、概念的定义2、定义的几种方式⑷约定式定义：依据数学上的某种特殊需要，通过约定的方式来下的定义。这种定义方法，一般是利用意义已经确定的表达式，去规定新引入的表达式的意义。如：为了使同底数幂的除法法则，在被除式的指数等于除式指数时也能适用，把“零指数”的概念规定为：a0=1（a≠0）；0！=1。⑸关系定义：是以事物间的关系作为类差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其它事物所不具有的特有属性。如：偶数的定义。偶数：能被2整除（A）的整数（B）叫做偶数（C）。其中A是B和C的关系。§4.1中学数学概念四、概念的定义2、定义的几种方式⑹其它定义方法：递归定义(递推式定义法。如n阶行列式、n阶导数、n重积分的定义)、描述性定义法(如等式、极限的定义)公理定义法。§4.1中学数学概念四、概念的定义3、定义的规则⑴定义必须是相称的。即定义项和被定义项的外延必须是相同的，既不能扩大，也不能缩小，应当恰如其分。如无理数是指无限不循环小数，而不能用无限小数(过宽)和不尽方根(过窄)来定义无理数。⑵定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以A概念来定义B概念，而同时又以B概念来定义A概念。如：“加法是求几个数和的方法”。900的角叫做直角。⑶定义应当清楚、简明，一般不用否定形式和未知的概念。即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概念，不能用譬喻或其他含糊的说法代替定义。如：笔直笔直的线(不清楚)，叫做直线；两组对边互相平行的平面平行四边形(不简明)；不是有理数的数，叫做无理数(否定形式)。对初中生来说，在复数a+bi中，虚部b=0的数叫做实数(应用未知概念)。§4.1中学数学概念五、概念的系列1、在一个科学系统中，有些概念可依一定顺序构成一个逻辑链，组成一个概念系列。2、原名：这种不能用别的概念（名称）来定义的，且又用它来定义其他概念（名称）的概念（名称），叫做原始概念，简称为原名。§4.1中学数学概念六、概念的分类1、分类(划分)的定义分类(划分)是揭示概念外延的逻辑方法。2、分类的规则⑴分类应按同一标准进行。⑵分类应逐级进行。⑶分类不重复，不遗漏、应当是相称的。⑷分类后各个子类应当互不相容。3、二分法二分法是按概念的对象有无某一属来进行的划分。§4.1中学数学概念思考与练习：1、阅读2、写出概念“钝角”的关系定义，写出“圆锥”的发生定义，写出实数幂an(n=0、1、2….)的递归定义，写出不等边三角形的否定式定义。3、给出“函数”概念的两个不同的分类。4、何谓数学概念，数学概念的外延与内涵？试举例说明。5、数学概念之间有哪些关系？试举例说明。习题P3626、数学概念常用的定义方式有哪些？正确的定义要符合哪些要求？习题P3637、将数学概念分类有何意义？正确的分类应符合哪些要求？习题P364。§4.2中学数学命题一、判断1、判断的定义人们对客观事物的情况有所肯定或者否定的思维形式，叫做判断。2、判断的分类：按判断的构成，判断分为简单判断和复合判断⑴简单判断：在一个判断中若不含其它判断，则称为简单判断。①性质判断：直接对客观对象的性质作肯定或否定的简单判断，叫做性质判断。②关系判断：判断对象与对象之间存在某种关系的简单判断，叫关系判断。⑵复合判断：由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断叫做复合判断。有下面的四种基本形式：§4.2中学数学命题一、判断⑵复合判断有下面的四种基本形式：A负判断：用连接词“非”构成，记为¬P或，读作“非P”。如：当P表示“所有质数都是奇数”（假），则¬P表示“并非所有的质数都是奇数”，即“有些质数不是奇数（真）”。B选言判断：由两个或两个以上判断有用连接词“或者”构成的判断，记为A∨B，读作“A或B”。如：一个大于1的自然数是质数或是合数；一个三角形为直角三角形，或为钝角三角形，或为锐角三角形。§4.2中学数学命题一、判断⑵复合判断有下面的四种基本形式：C联言判断：用连接词“且”构成判断，表明几个事物情况都存在。记为A∧B，读作“A且B”。如：6可以被2整除，且可被3整除；正方形的四条边相等，且四个角也相等。D假言判断：（又叫做蕴含判断），是判断P为另一判断Q存在的条件的判断，叫假言判断。P、Q分别叫做该判断的前件和后件（或题设和题断，条件和结论），一般表达式为“若…..,则…..。”或“如果…，那么…”。记成P→Q。如：若两三角形相似，则对应边成比例。§4.2中学数学命题二、命题1、命题的意义：表示判断的语句叫做命题。①命题的形式：“若A则B”，或“A→B”，其中A为条件，B为结论。命题有真有假，有简单命和复合命题。②常用的真命题：定义、公理、定理、法则、性质、推论等2、命题的演算和复合命题⑴否定（非）：否定命题P的内容的命题，称为P的否定。记为“¬P”，读作“非P”，¬¬P=P。⑵合取（与）：P、Q是两个简单命题，用连接词“且”或“与”构成的命题。P且Q叫做P和Q合取，记作“P∧Q”又称联言命题。特征为同真为真，否则为假。§4.2中学数学命题二、命题2、命题的演算和复合命题⑶析取（或）：两个命题P、Q用连接词“或”构成的命题，P或Q”称为P、Q的析取，记为“P∨Q”。特征为同假为假，否则为真。合取与析取的关系：¬（P∨Q）=（¬P）∨（¬Q）⑷蕴含：两个命题P、Q用连接词“若、、、则、、、”构成的命题。“若P则Q”称为P与Q的蕴含，也称为充分条件，假言命题，记为“P→Q”，P蕴含Q。特征为真的假不了，否则为真。⑸“等值”：给定两个命题P、Q，用连接词“等值”、“等价”、“当且仅当”构成的命题。“P等值于Q”叫做P、Q的等值命题。记作“P←→Q”，读作“P等值Q”或“P当仅当Q”。§4.2中学数学命题二、命题2、命题的演算和复合命题⑹复合命题：由几个命题用否定、合取、析取、蕴含、等值等演算得到的新命题叫做复合命题。⑺命题演算的应用：P∧¬P是一个恒假命题，P∧Q→P是一个恒真命题。⑻命题的运算律①幂等律：P∧P=P，P∨P=P②交换律：P∨Q=Q∨P，P∧Q=Q∧P③结合律：（P∨Q）∨R=P∨（Q∨R），（P∧Q）∧R=P∧（Q∧R）④分配律：P∨（Q∧R）=（P∨Q）∧（P∨R）P∧（Q∨R）=（P∧Q）∨（P∧R）⑤吸收律：P∧（P∨Q）=P，P∨（P∧Q）=P§4.2中学数学命题二、命题⑻命题的运算律⑥德摩根律：¬（P∨Q）=（¬P）∧（¬Q）⑦双重否定律：¬（¬P）=P⑧恒等律：P∨I=I，P∧I=P，P∧0=0，P∨0=P⑨互补律：P∨¬P=I，P∧¬P=0⑩P→Q=¬P∨Q⑾（P∨Q）→R=（P→R）∧（Q→R）⑿（P∧Q）→R=P→（Q→R）3、命题的四种基本形式及其关系：给定命题P、Q，原命题：“若P则Q”或“P→Q”逆命题：“若Q则P”或“Q→P”否命题：“若非P则非Q”或“¬P→¬Q”逆否命题：“若非Q则非P”或“¬Q→¬P”§4.2中学数学命题二、命题具有逆否关系的命题是同真同假的，这种关系叫做等效关系或等效原理。三、逆命题的制造⑴如果一个命题的条件和结论都是一个简单命题，这时只须将条件和结论互换位置，就得到这个命题的逆命题，且逆命题只有一个。⑵如果一个命题的条件和结论都不只是一个简单命题，将条件和结论中的简单命题任意换位可得到这个逆命题。⑶设条件中有m个简单命题，结论中有n个简单命题，则这命题的逆命题个数为∑∑CmiCnj=(Cm1Cn1+Cm1Cn2+…Cm1Cnn)+(Cm2Cn1Cm2Cn2+…+Cm2Cnn)+…+(CmmCn1+CmmCn2…+CmmCnn)§4.2中学数学命题四、命题的同一原理1、同一原理：两个互逆命题，如果条件和结论中所含事项都是唯一存在的，而且它们所指的是同一概念时，那么，当其中一个命题正确时，另一个命题也是正确的，这叫做同一原理。即符合同一原理的两个互逆命题是等效的，它们是同一法论证的逻辑根据。2、充分条件和必要条件若“P→Q”是真命题，则称P为Q成立的充分条件。如：“两角是对顶角”是“两角相