§正态总体均值的假设检验

§2正态总体均值的假设检验返回目录),,(~2NX(一)单个总体N(μ,σ2)均值μ的检验1.σ2已知,关于μ的检验（Z检验）,:00H01:HnXXX,,,21为取自总体X的样本,}{2zZP,:00H(1)提出假设nXZ0(2)选取检验统计量)1,0(~NZ0H在成立的条件下，2z(3)给定的显著性水平α,查正态分布表得临界值(4)计算检验统计量与临界值比较；01:H,20znx(5)拒绝域下结论.右边检验：00:H01:H拒绝域znxz0znxz0拒绝域σ2已知,关于μ的单边检验：0100:,:HH左边检验:例1根据经验与历史资料知,某液化气厂生产的罐装液化气重量服从正态分布现改革了罐装工艺后随机抽查了16罐液化气,得如下数据(单位:公斤）),5.1,30(~2NX问改革了罐装工艺后罐装液化气平均重量与过去相比有无显著差异？05.029.329.830.229.630.528.429.130.028.830.429.429.529.530.629.930.830:1H,96.1025.0z30::0H解)1,0(~165.130NXZ,05.0给定,76.29x计算得64.0165.13076.29z,0成立下在H,96.164.0U由于不能否定原假设,.0H接受即改革了罐装工艺后,罐装液化气平均重量与过去相比无显著差异.,20,19,5.22,20,22,21,5.20,2323,18,22,5.19,20,8.18,5.20,23例2用传统的工艺生产红果罐头,每罐维生素C的平均含量是19克.现改进加工工艺后抽了16罐,测得维生素C的含量为新工艺维生素C的含量是否比旧工艺含量高?设X:新工艺下生产罐头的维生素C的含量.α=0.05.假定红果罐头维生素C的含量服从正态分布,,42,19:0H,8.20x,05.0,645.105.0z6.3162198.20,0H拒绝解:19:1Hnxz0,645.1可以认为新工艺维生素C的含量比旧工艺含量高.,:00H(1)提出假设(2)选取检验统计量0H在成立的条件下，(3)给定的显著性水平α,找临界值(4)计算检验统计量与临界值比较；01:H(5)拒绝域下结论.2.σ2未知,关于μ的检验(t检验)nSXt0)1(~ntt)1(2nt)}1({2nttP使),1(20ntnsx例3某企业生产的高温杀菌盒装牛奶,标注每100毫升含钙110毫克,现质检局从市场抽查了该企业生产的这种牛奶20盒,测得每100毫升含钙量数据如下(单位:毫克))01.0(已知牛奶的含钙量服从正态分布,问该企业生产的这种牛奶的含钙量是否与其标识的相一致？107，115，121，111，102，98，114，118，105,110,104，116，112，115，103，108，113，116，116，109,110:0H),19(~110tnSXt,01.0,65.110x,055.6s48.020055.611065.110t接受原假设,即可以认为该企业生产的这种牛奶的含钙量达到其标准.,8609.2)19(005.0t解:,110:1H0H在成立下,,861.2右边检验：00:H01:H拒绝域tnsxt0tnsxt0拒绝域σ2未知,关于μ的单边检验：0100:,:HH左边检验:),(),(222211NN与的样本，),,,(),,,(212121nnYYYXXX和是分别来自正态总体2221SS与样本方差分别是两样本相互独立.样本均值分别是,,YX,,,,221未知2221称两总体具有方差齐性.,:210H211:H在显著性水平α下检验：(二)两个正态总体均值差的假设检验2111])[(nnSYXtW2)1()1(21222211nnSnSnSW(1)提出假设(2)选取检验统计量0H在成立的条件下，)2(~21nntt(3)给定的显著性水平α,找临界值k)2(212nntk(4)计算检验统计量与临界值比较；(5)拒绝域下结论.),2(212nnt,:210H211:H2111)(nnsyxtW,}{ktP例4在羊皮加工工艺中有一道工序是去脂处理,现有甲、乙两种方法进行此道工序,为比较两种方法的优劣,各进行了8次和7次试验,测得去脂后的含脂率(%)如下：)05.0(解：设两种方法处理后的羊皮含脂率分别为X和Y，),(~),,(~2221NYNX,375.16x,857.14y,945.2ws甲：12，16，19，14，17，22，15，16乙：15，20，13，11，16，15，14已知羊皮的含脂率服从正态分布,且两种方法处理后含脂率的方差相同,问两种方法处理后的羊皮含脂率有无显著差异？,0:210H)2(~112121nntnnSYXTW,05.0,1604.2)13(025.0t996.07181945.2857.14375.16t所以接受原假设,即可认为两种方法处理后的羊皮含脂率无显著差异.,0成立下在H0:211H,1604.2例5在同一台平炉上进行试验,以确定改变操作方法是否会增加钢的得率,以标准方法和新方法交替进行(其他条件尽量保持不变),各炼了10炉,其得率分别为:标准方法:78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3新方法:79.181.077.379.180.079.179.177.380.382.1设两样本相互独立,分别来自),(),(2221NN与问新操作方法是否会增加钢的得率?(α=0.05)221,,未知,,0:210H0:211H解:,101n,23.76x,325.321s,102n,43.79y,225.222s2)1()1(212222112nnsnsnsw,775.2,7341.1)18(05.0t295.41121nnsyxtw,734.1拒绝原假设,即可认为新操作方法能增加钢的得率.*(三)基于成对数据的检验(t检验)逐对比较法：在相同的条件下作对比试验,得到成对的观察值后进行分析,并作出推断.例6有两台光谱仪用来测量材料中某金属的含量,为鉴定它们的检测结果是否有显著性差异,预备了9块试板,分别用两台仪器对这9块试板各测量一次,得到9对观察值如下:x(%)0.200.300.400.500.600.700.800.901.00y(%)0.100.210.520.320.780.590.680.770.89d=x-y(%)0.100.09-0.120.18-0.180.110.120.130.11问是否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?α=0.01设有n对独立的观察结果:),(,),,(),,(2211nnYXYXYX令:nnnYXDYXDYXD,,,222111nDDD,,,21构成来自总体的样本.),(2DDN2,DD未知.;0:,0:)1(10DDHH拒绝域:)1(2ntnsdtD.0:,0:)3(10DDHH拒绝域:)1(ntnsdtD;0:,0:)2(10DDHH拒绝域:)1(ntnsdtD;0:,0:10DDHH上例中,9n3554.3)8()1(005.02tnt,1227.0,06.0Dsd467.191227.006.0nsdtD3554.3可以认为这两台仪器的测量结果无显著差异.接受,0H思考题：对正态总体的期望μ进行假设检验,如果在显著水平0.05下,接受H0:μ=μ0,那么在显著水平0.01下,能否接受H0?思考题答案：接受H0,005.0025.00zznx),1()1(005.0025.00ntntnsx练习题：1.矿砂中铜含量服从正态分布,未知,从总体中抽取样本在显著水平α下,检验,取统计量（）),(2N2,,,,,54321xxxxx00:H5)3(0x5)1(0sx4)4(0sx4)2(0x212)(1niinXXnS212)(11niiXXnSnXZ0)1(1)2(0nSXTn1)3(0nSXT222)4(nnS),(~2NX2X2.设总体,未知,为样本均值，检验假设H0:μ=μ0时采用的统计量是())1()1(2ntt)1()2(2ntt)1()3(ntt)1()4(ntt),(~2NX00:H01:H3.设总体,统计假设为对,若用t-检验法,则在显著性水平α下的否定域为()2)1(zZ2)2(zZzZ)3(zZ)4(若用检验法,则在显著性水平α下的否定域是()Z)9,2(~NX2:0H2:1H4.设总体,检验假设,对5.在加工的零件中抽出100个测其直径,得到样本平均数为11.2厘米,样本方差为2.6厘米,能否认为这批零件的直径在12厘米以上？(设零件的直径服从正态分布),6.设从正态总体中抽取容量为n的样本,问n不能超过多少,才能在的条件下接受)9,(~NXnXXX,,,2121x5.21:0Hα=0.057.测定某种溶液中的水分,重复测了10次,得测量值的均值是0.452%,标准差是0.037%,设测量值服从正态分布,问是否可以认为溶液中的水分为0.48%？(α=0.05)8.某市调查职工平均每天用于家务劳动的时间,随机抽取职工400人,结果得样本平均值=1.8小时,样本标准差s=1.2小时,问能否认为职工平均每天用于家务劳动的时间不超过2小时?(α=0.05)x9.某牌号的节能灯正常使用下寿命的均值为2500小时,现企业进行了技术革新,从新生产的这种节能灯中抽取了16只检测,平均使命寿命为2700小时,样本标准差为140.已知节能灯的使命寿命服从正态分布,问新生产的这种节能灯的平均使命寿命有无显著提高？)05.0(10.某公司从甲、乙两灯泡厂购买灯泡,平日灯泡寿命服从正态分布,且知甲厂灯泡寿命的标准差是80小时,乙厂灯泡寿命的标准差是94小时,现从两厂各抽取50个灯泡测得平均使用寿命,甲厂为1282小时,乙厂为1231小时,问在显著性水平α=0.05下,这两厂的灯泡在质量上是否存在显著性差异？)05.0(11.已知有甲、乙两种工艺从矿石中提炼金属铜,两种工艺的提炼率分别服从正态分布和为比较两种工艺的优劣,现用甲、乙两种工艺各进行了10次和12次试验,得金属铜的提炼率（%）如下：)2,(21N)3,(22N甲：18.917.618.219.018.817.517.718.418.118.5乙：16.615.917.117.717.216.716.417.015.816.516.416.3问两种工艺对金属铜的提炼率有无显著差异？)05.0(12.为比较吸烟与否对人的寿命的影响,专家从不吸烟的成人群和吸烟的成人群中,各抽取400名和600名跟踪调查,测得其平均寿命分别是78.2岁和70.4岁,已知两种情形下人的寿命都服从正态分布,且总体标准差分别是8.5岁和8.8岁,问不吸烟的成人群是否比吸烟的成人群的寿命要高些？)05.0(13.为比较两地居民的收入水平,分别在两地调查21户和24户,得到各户人均生活费收入数据后算得样本平均值为58.37元和56.12元,样本标准差为6.52元和6.58元,假定两地家庭人均生活费收