§矩阵的概念

《线性代数》课题组配方法化二次型为标准形2.二次型标准形的概念1.知识点2---化二次型为标准形正交变换法化二次型为标准形3.二次型的规范形4.《线性代数》课题组TTTTT()()xAxCyACyyCACyyBy2221122()rrrnyyy定义对于二次型，通过12(,,,)TnfxxxxAx可逆线性变换x=Cy将其化成仅含有平方项的二次型，称这种只含变量的平方项，所有混合项的系数全是零的二次型为二次型的标准形。一、二次型的标准形的概念即《线性代数》课题组例1用配方法将二次型222123123121323(,,)23428fxxxxxxxxxxxx解原式222112132323(42)238xxxxxxxxx2221232323(2)224xxxxxxx2221232233(2)2(2)2xxxxxxx222123233(2)2()4xxxxxx二、配方法化二次型为标准形化为标准形，并写出相应的线性变换矩阵。《线性代数》课题组令1123223332yxxxyxxyx即112233121011001yxyxyx《线性代数》课题组则11232233323xyyyxyyxy即112233123011001xyxyxy《线性代数》课题组即经过线性可逆线性变换112233123011001xyxyxy二次型化成标准型22212324fyyy相应的线性变换矩阵为123011001C《线性代数》课题组例2用配方法将二次型1231213(,,)24fxxxxxxx化成标准形，并写出相应的线性变换.解由于二次型中不含变量的平方项，只含混合项，故先作线性变换11221233xyyxyyxy《线性代数》课题组即112233110110001xyxyxy则原二次型化为221132232424fyyyyyy2221322332()242yyyyyy2213232()2()yyyy《线性代数》课题组11322333zyyzyyzy112233101011001zyzyzy再令即则原二次型化为标准形221222fzz《线性代数》课题组相应的线性变换为112233110110001xyxyxy123110101110011001001zzz123110112001zzz112233110110001xyxyxy112233101011001zyzyzy《线性代数》课题组方法总结变量逐步配方，直至将配成平方和形式.ffix（1）如果二次型中含有变量的平方项，则先把(,,)iijjijkkxyyxyyijkijxy（2）如果二次型中没有平方项，只有混合项，例如f有混合项，则先作可逆线性变换()ijxxij¹f使中出现平方项，再按上面的方法配方.含有的项集中，按配方，然后按此法对其他ixix《线性代数》课题组三、正交变换法化二次型为标准形112212rrryy=yyyyTTTTT()()xAxCyACyyCACyyBy2221122()rrrnyyy《线性代数》课题组定理1对于二次型,必T12(,,,)nfxxxxAx2221122nnfyyyxPy有正交变换可将化为标准型f其中是的矩阵的特征值.12,,,n()ijaAfT1BCACCAC即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似.若是正交矩阵，则有xCyC是正交变换，即《线性代数》课题组,得12,,,n；12,,,n；12(,,,)nPxPyTT2221122nnfyyyxAxyy正交变换法化二次型为标准形的一般步骤：（1）写出二次型的矩阵A;（2）求矩阵A的特征值（3）求矩阵A的特征向量；（4）将特征向量正交化、单位化得（5）构造矩阵,经《线性代数》课题组例3用正交变换法将二次型化为标准型，并写出所用的正交变换.1231213(,,)24fxxxxxxx解二次型矩阵为012100200A《线性代数》课题组求A的特征值：21210(5)20AE则A的特征值为1230,55，012100200A《线性代数》课题组其一个基础解系1021单位化得1025555求A属于的特征向量,求解齐次线性方程组1000AEx《线性代数》课题组求A的属于的特征向量,求解齐次线性方程组2550+AEx其一个基础解系2512单位化得222101021010《线性代数》课题组求A的属于的特征向量,求解齐次线性方程组3550AEx其一个基础解系3512单位化得322101021010《线性代数》课题组取则即正交变换将二次型化为标准型xPy321,,xxxf1232202225101051010521021051010P1000050005PAP222355fyy《线性代数》课题组四、二次型的规范形1231213(,,)24fxxxxxxx用配方法可化为标准形221222fzz用正交变换法可化为标准型222355fyy《线性代数》课题组TfxAxr定理2设实二次型的秩为线性变换xCy及xPy使得2221122,(0)rrifyyy及2221122,(0)rrifkykykyk,有两个可逆则中正数的个数与中正数的12,,,r12,,,rkkk个数相等（进而负数的个数也相等）.这个定理被称为惯性定理.《线性代数》课题组注：惯性定理说明二次型的标准形虽然不唯一，推论实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正但是任一标准形中非零项数、系数为正的项数、系数为负的项数都是唯一确定的.其中正系数的个数称为正惯性指数、负系数的个数称为负惯性（负）特征值的个数.指数。《线性代数》课题组22222112211pppprrfyyyyy(0)i对二次型的标准形作可逆线性变换1111111rrrrrnnyzyzyzyz《线性代数》课题组定理3任一实二次型总可以经过可逆线性变换化为22222121pprfzzzzz其中p为二次型f的正惯性指数，r是二次型f的秩。定义2称为二次型22222121pprfzzzzz的规范型.总可以将二次型化为22222121pprfzzzzz《线性代数》课题组解所给二次型为标准形，可以判断其正惯性指数112233121215xyxyxy例4将二次型化成规范形并求其正负指数。222123123(,,)245fxxxxxx为2，负惯性指数为1.令《线性代数》课题组二次型化为222123fyyy112233100210021005xyxyxy即《线性代数》课题组小结的项集中，按配方，然后按此法对其他变量逐步ixix配方，直至将配成平方和形式.ffix（1）如果二次型中含有变量的平方项，则先把含有(,,)iijjijkkxyyxyyijkijxy（2）如果二次型中没有平方项，只有混合项，例如有混合f项，则先作可逆线性变换()ijxxij¹f使中出现平方项，再按上面方法配方.1.配方法化二次型为标准形的一般步骤：《线性代数》课题组,得12,,,n12,,,n12(,,,)nPxPyTT2221122nnfyyyxAxyy2.正交变换法化二次型为标准形的一般步骤：（1）写出二次型的矩阵A;（2）求矩阵A的特征值（3）求矩阵A的特征向量；（4）将特征向量正交化、单位化得（5）构造矩阵,经小结《线性代数》课题组3.惯性定理对于一个二次型，无论选取怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准形，其中正平方项的个数和负平方项的个数都是由所给二次型唯一确定的。小结