1.3.3函数的最大(小)值与导数》课件

课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习1．3.3函数的最大(小)值与导数课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【课标要求】1．能够区分极值与最值两个不同的概念．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【核心扫描】1．利用导数求给定区间上函数的最大值与最小值．(重点)2．常与函数的单调性、参数的讨论等知识结合命题．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习自学导引1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习想一想：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？提示一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值各极值端点处的函数值课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习想一想：极值和最值的区别与联系？提示(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习名师点睛函数的极值与最大(小)值的理解(1)极值反映的是函数在某一点附近的局部性质：如果x0是函数y＝f(x)的极大(小)值点，那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值；最值反映的是函数在整个定义域内的性质：如果x0是函数y＝f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y＝f(x)在相应区间上的所有函数值．(2)在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值．例如，曲线y＝tanx在开区间－π2，π2内连续不断的，但没有最大值与最小值．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(3)若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．(4)开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值的几种情况图(1)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值；图(2)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值；图(3)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型一求函数在闭区间上的最值【例1】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．[思路探索]先求f′(x)，再令f′(x)＝0得到相应的x的值，通过列表，确定出极值点，求极值与端点值，从而比较大小确定最值．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习解(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f′(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式1】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈－π2，π2.解(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37极大值3极小值－535课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.(2)f′(x)＝2cos2x－1－π2≤x≤π2，令f′(x)＝0，得x＝－π6或x＝π6，f－π6＝π－336，fπ6＝33－π6，f－π2＝π2fπ2＝－π2.∴当x＝－π2时，f(x)取最大值π2.当x＝π2时，f(x)取最小值－π2.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型二含参数的最值问题【例2】已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[思路探索]①先对函数求导，由f′(1)＝3得a的值及切线方程；②根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习解(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.①当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习③当02a32，即0a3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增，从而f(x)max＝8－4a0a≤2，02a3，综上所述，f(x)max＝8－4aa≤2，0a2.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习由于参数的取值范围不同，会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，分类时一般从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式2】在本例第(2)问中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？解令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝23a，①当23a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；②当23a≤－1，即a≤－32时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习③当－123a0，即－32a0时，f(x)在－1，23a上单调递增；在23a，0上单调递减，则f(x)max＝f23a＝－427a3.综上所述：f(x)max＝－1－a，a≤－32，－427a3，－32a0，0，a≥0.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型三函数最值的综合应用【例3】已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习[规范解答](1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．(2分)∴－1＋3＝23a，－1×3＝b3，∴a＝3，b＝－9.(4分)(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9.(6分)当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值c＋5极小值c－27课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，(8分)∴x∈[－2,6]时f(x)的最大值为c＋54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c＋542|c|即可，当c≥0时，c＋542c，∴c54；当c0时，c＋54－2c，∴c－18，(10分)∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．(12分)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【题后反思】不等式恒成立时求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式3】设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：∴对t∈(0,2)，当t＝1时，gmax(t)＝1－m，h(t)－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m0，∴m1.t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)递增1－m递减课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习方法技巧数形结合思想在最值中的应用学习了利用导数研究函数的极值与最值后，结合以前所研究函数的奇偶性与单调性的方法，给定一个函数，其图象的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前．能够大致地描绘函数图象，一些数学问题便能顺利解决．方程根的个数或者说函数零点个数问题即是本节知识数形结合的一个具体的应用．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【示例】求方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数．[思路分析]可以转化成求f(x)＝x3－6x2＋9x－4的零点个数，也可以转化成求两个函数图象交点个数问题．解法一转化为求f(x)＝x3－6x2＋9x－4的零点的个数问题．f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＝0得x＝3或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)随x变化情况如下表：课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习又当x→＋∞时，f(x)→＋∞，x→－∞时，f(x)→－∞.故f(x)的图象大致如图所示：∴方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数为2