自动控制原理_根轨迹法

J.Z.Xiao,CEIE,HBU1第四章根轨迹法反馈控制系统的运动特征取决于其闭环传递函数：极点、比例系数、零极点分布等。1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在关系，确定闭环特征方程特征根的一种图解方法——根轨迹法。将开环系统中的参数与闭环极点间的关系通过直观的方法确定出来，便于对系统稳定和综合性能的分析。助是非常便利的！J.Z.Xiao,CEIE,HBU电流温度电流/电压扭矩/转速阀门开度缸位移被控对象都是简单的输入和输出间的开环关系，而最终是要闭环的。如果能根据开环系统判断闭环系统的极点、零极点分布、开环增益等，那么对系统控制的帮W.R.Evans2采用根轨迹解决！K00.10.250.51……∞S10-0.113-0.5-0.5+j0.5-0.5+j0.87……-0.5+j∞S2-1-0.887-0.5-0.5-j0.5-0.5-j0.87……-0.5-j∞=2s1=,s2=J.Z.Xiao,CEIE,HBU3一、根轨迹的基本概念KssKKs(s1)KΦ(s)=121214K214K2闭环特征方程为s2+s+K=0,解得闭环特征根表达式1.根轨迹概念Ks(s1)R(s)-C(s)-1σjωK=0K=0.5K=0.5K=0.25K=0-0.5-0.50.50图4-2系统的根轨迹J.Z.Xiao,CEIE,HBU4根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。（1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复平面的左半平面。（2）当0K0.25时，二阶系统的两个特征根为位于左半面的两个实根，系统处于过阻尼状态。当K0.25时，两个特征根为位于左半面的一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。当K=0.25时，两个特征根为位于左半面的两个相等的实根，系统处于临界阻尼状态。（3）从根轨迹的分布，对于给定的K值，可以估计系统的主要动态性能。如K=0.5时，闭环特征根为-0.5±j0.5。ξ=0.707ωn=0.707，2ξπ1−ζσ％＝eJ.Z.Xiao,CEIE,HBU52.根轨迹方程G(s)1G(s)H(s)系统的闭环传递函数:(s)=C（s）R（s）－G(s)H(s)闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)=–1G(s)H(s)earg[G(s)H(s)]=1ej(2k1)πG(s)H(s)=1arg[G(s)H(s)]=(2k1)k=0,±1,±2L模条件角条件(z)∏(τs1)(Ts1)(sz)(sp(p(sz=j1|szj|=1,K=m|spi|=i1=i1|spi|(szK(sp)K|szj|)(spi)=(2k1)πJ.Z.Xiao,CEIE,HBU6、极iij=Kmi=1nj=1*mi=1nj=1j)G(s)H(s)=KiK=Kmi=1nj=1*j)将根轨迹方程写成零迹增益点表示的矢量方程为：开环增益)im*j=1ni=1j=1=ej(2k1)π(k=0,±1,±2,L)n*mj=1*nni=1mj=1j模值方程和相角方程分别为：J.Z.Xiao,CEIE,HBU7在绘制根轨迹时，只需要使用相角条件即可（因为根轨迹是K*从0到∞，根位置的变化过程，只要满足角条件，s必在根轨迹上，而对应的什么K*值并不重要）。当需要确定根轨迹上各点的K*值时，才使用幅值条件。J.Z.Xiao,CEIE,HBU8例：系统的开环传递函数为K*(sz1)s(sp2)(sp3)G(s)H(s)=σjωS1P2α2L3α3L4α1P1L2L1β1P3幅值条件和相角条件图示arg(s1z1)[args1arg(s1p2)arg(s1p3)]=(2k1)πβ1−(α1+α2+α3)=(2k1)πz1此点处的开环根轨迹增益L2L3L4L1=s1s1p2s1p3sz1K*=用角条件判断s1是否属于根轨迹J.Z.Xiao,CEIE,HBU9例利用相角条件绘制图4-1所示系统的根轨迹。系统的开环传递函数仍为Ks(s1)G(s)H(s)=•确定实轴上的根轨迹正实轴实轴上原点与-1点之间-1点左边••(0.5j0)KK=0.50.51=0.25(0.5±j0.5)KK=0.5±j0.50.5±j0.51=0.5根轨迹上点所对应的所对应的值根轨迹上点在实轴外任取一点s1位于（-1，0）的垂直平分线用模条件确定系数K的值J.Z.Xiao,CEIE,HBU10只需做出上半s：根轨迹在[s]面上的分支数等于系即可以画出下半sn,也就是分支数与二、根轨迹绘制的基本规则法则1:根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。法则2:根轨迹的分支数平面的根轨迹部分，然后利用对称关闭环特征方程的阶数平面的根轨迹部分闭环极点的nm*j=1i=1数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。(sp)K(sz)=0(p1)(p2)L(pn)(z1)(z2)L(zm)=01*(spj)(szi)=0(spJ.Z.Xiao,CEIE,HBU11证明：*nmj=1i=1ji)=0nj=1js=pj,j=1,2Lnmi=1nKj=11qs=1111111K*qqqqqq根轨迹的起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹点根轨迹的终点则是指根轨迹增益K*∞的根轨迹点。令等式两端同时乘以qn，可得1*当K*∞时，上式化为qnm(1z1q)(1z2q)L(1zmq)=0这仍为n次方程，有n个根存在，即q=0（n-m重）1zm11,z1z2,L,s=（n-m重）z1,z2,Lzmarg(sz)arg(spJ.Z.Xiao,CEIE,HBU12法则4:实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。（1）位于点si左侧的开环零、极点指向si的矢量的相位角均为0，在相角条件中，对总相角没有贡献。（2）一对共轭开环极点（或共轭开环零点）指向si的矢量的相位角之和恒为2π也不必考虑。（3）实轴上根轨迹的确定完全取决于点si右侧的开环零、极点分布。由相角条件得：si右边实轴上的开环零、极点个数之和为奇数时σjωP10P2P3z1siP5P4实轴上根轨迹)=(2k1)πjmni=1j=1ipzϕ=ji(2k1)πσ=nm(sz)smbm1sm1Lb1sb0G(s)H(s)=K=Ksnan1sn1La1sa0(sp（bm1=zian1=pj）同除分子G(s)H(s)=nmJ.Z.Xiao,CEIE,HBU13法则5:根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标和渐近线(参数趋于无穷)与实轴正方向的夹角分别为nmnmj=1i=1k=0,1,2,L,nm1j)im*i=1*nj=1证明：mi=1nj=1s=sK*snm(an－1bm1)snm1K*(an－1bm1)snm1＋L由根轨迹方程snm(an－1bm1)snm1＝－K*sn（1sn（1)Lnman－1bm1nmpzan1=pj）（bm1=zi=Kbm1nm（1n－1nm*nms－（1n－1bm1nm2!(nm)nm1)(n－114m）=K*an－1bm1sm）=K*ej(2k1)πan－1bm1sk=0,1,2,L,nm1es=Kj(2k1)nm1*nm1）s（1(11a1nmsabm12san－1bm1s=1＋1）sa11nman－1bm1s=1＋）当s-∞时，上式可近似为两侧开(n-m)次方e=Kj(2k1)nm1*nman－1bm1nms＋mi=1nj=1J.Z.Xiao,CEIE,HBUnmji1j(2k1)πj=1i=1e即得渐近线的坐标与夹角。J.Z.Xiao,CEIE,HBU15规则6：根轨迹的分离点、汇合点与分离角定义一：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上（通常为实轴）的交点称为根轨迹的分离点或汇合点；定义二：分离角定义为进入分离点的切线方向与离开分离点切线方向之间的夹角。J.Z.Xiao,CEIE,HBU16F(s)=D(s)＋K*N（s）＝0基于根轨迹的分离点或汇合点实质上都是特征方程式的重根。设=1N(s)D(s)G(s)H(s)=K闭环系统特征方程：F(s)=D(s)＋K*N（s）＝0F(s)=D(s)＋K*N（s）＝0D(s)N（s）－D(s)N（s）＝0确定分离点或汇合点的方法l条根轨迹进入并离开分离点时的分离角为：(2k1)π/lk=0,1,2,L,l1=KJ.Z.Xiao,CEIE,HBU17例4-3已知单位反馈控制系统，试求系统根轨迹的分离点。ks(s1)(s2)C(s)R(s)解：易知闭环系统特征方程为：F(s)=D(s)＋K*N（s）=s(s1)(s2)=0dD(s)dN(s)dsds=3s26s2=0dF(s)ds解方程为：ReIm012s1=1.577s2=0.423！根据根轨迹在实轴上的分布，前者不属于根轨迹，故舍去。所以后者为根轨迹的分离点。θpk=(2k1)π+∑∠(pkzj)(pkpi)θzk=(2k1)π+∑∠(zkpi)(zkzj)设S1在根轨迹上，则θ3J.Z.Xiao,CEIE,HBU18法则7:根轨迹在复极点的出射角和复零点的入射角ikjkφ1σP2z1S1P4jωP34θ1P10θ4θ2mnj=1i=1nmi=1j=1φ1－（θ1＋θ2＋θ3＋θ4）＝±(2k1)π入射角＝∑[各开环极点指向该零点的矢量的方向角]－∑[其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角]＋反向3＝1－（1＋2＋4）m(2k1)出射角＝∑[各开环零点指向该极点的矢量的方向角]－∑[其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角]＋反向同理：法则8:根轨迹与虚轴的交点方法一：应用劳斯判据当特征方程式存在有一对纯虚根时，应令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点处的K*值。利用劳斯表中s2行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值。这一数值即对应于根轨迹与虚轴交点处的值。方法二：应用闭环特征方程直接计算Re[1G(jω)H(jω)]=0⎩Im[1G(jω)H(jω)]=0191G(jω)H(jω)=0s=jωJ.Z.Xiao,CEIE,HBUJ.Z.Xiao,CEIE,HBU20s3＋3s2＋2s＋k=0例：原系统闭环特征方程为方法一：建立劳斯表如下2k0132-k/3kS3S2S1S0由劳斯表，令2-k/3=0，得k=6。由s2行的系数构成辅助方程，且令k=6，得s1，2＝±j23s26=021由此根轨迹与虚轴的交点为由上方程解得：1）ω＝0，k=0p1=0±j2k*=k=6此为根轨迹的一起始点2）＝±2，k=6此时根轨迹增益为J.Z.Xiao,CEIE,HBU方法二：令s=j代入闭环特征方程，得－j332＋2j＋k=0令其实部和虚部分别为零，得32＋k=0(sz)(sp)sziszL(1)snpjsn1L(1)npjz=pj＋K(1)p=pjpspjsmL(1)pj＋KszisL(1)zi=0p)=spcjs(spJ.Z.Xiao,CEIE,HBU22mi=1mm1nmj=1i=1n*n1nj=1ninmcjmi=1*nj=1nj=1规则9：闭环极点的和与积开环零极点表示的特征方程闭环极点表示特征方程**=1immnni=1i=1j=1j=1mm1mmi=1nj=1ij=KG(s