第一讲 函数与数列的极限

§1函数的概念一、函数的定义域设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A其中x叫做自变量，自变量x的取值范围A叫做定义域，与x的值相对应的值y叫做函数值，函数值的集合{f(x)︳x∈A}叫做函数的值域。第一讲函数与数列的极限二、函数定义域的求法求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的一切自变量的集合注意事项：最终结果要写成区间或集合[a,b](a,b)[a,b)(a,b][a,+∞)(a,+∞)(-∞,b](-∞,b)(-∞,+∞)xx满足的条件常见函数对自变量的要求：1()0nxnx是偶数1()0nxnx是偶数tan2xxklog,ln0axxxcotxxk第一讲函数与数列的极限三、求函数表达式的方法直接代入法（直接代入法一般都是给出函数的具体解析式，求其他函数的表达式，比较简单）2()2fxx2224()()22fxxx2242(())(2)222ffxxxx(())()fxx对于形如的变量代换函数一般采用法和拼凑法(())(())ftt两种方法利用的原理都是若()()fxx则第一讲函数与数列的极限四、反函数的求法原函数必须是一一映射才有反函数；单调函数一定有反函数；原函数与反函数关于直线y=x对称；原函数的定义域是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义域。1()yfx()yfx第一讲函数与数列的极限§2函数的性质一、函数的有界性oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX0x无界则称函数,,0,XxMDX若Mxf)(有成立，f(x)在X上有界.否则称为无界.(2)有界与否是和X有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:第一讲函数与数列的极限二、函数的奇偶性偶函数yx)(xf)(xfyox-x)(xf,Dx设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于有f(-x)=f(x)恒成立,则称f(x)为偶函数;偶函数的图形关于y轴对称.函数y=cosx是偶函数.第一讲函数与数列的极限奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于,Dx有f(-x)=-f(x)恒成立,则称f(x)为奇函数.奇函数的图形关于原点对称.函数y=sinx是偶函数.函数y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.第一讲函数与数列的极限函数奇偶性常见结论奇*奇=偶偶*偶=偶奇*偶=奇偶*奇=奇()()fxfx一定是偶函数()()fxfx一定是奇函数奇函数导数是偶函数偶函数导数是奇函数导数是奇函数的函数一定是偶函数导数是偶函数的函数不一定是奇函数内层是奇函数，函数奇偶性与外层奇偶性相同内层是偶函数，函数一定是偶函数第一讲函数与数列的极限三、函数的单调性)(xfy)(1xf)(2xfxyoI及设函数f(x)的定义域为D,区间,DI),()(21xfxf1x如果对于区间I上任意两点,2x当时,恒有21xx则称函数f(x)在区间I上是单调增加的;第一讲函数与数列的极限)(xfy)(1xf)(2xfxyoI及设函数f(x)的定义域为D,区间,DI),()(21xfxf则称函数f(x)在区间I上是单调减少的;如果对于区间I上任意两点1x,2x21xx当时,恒有第一讲函数与数列的极限四、函数的周期性2l2l23l23l函数sinx,cosx的周期是.2函数tanx的周期是.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.)()(xflxf一Dx有,)(Dlx且恒成立,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l,使得对于任第一讲函数与数列的极限§3初等函数一、复合函数定义:设函数)(ufy的定义域为,1D函数u=g(x)在D上有定义,且,)(1DDg则由下式确定的函数Dxxgfy,)(称为由函数u=g(x)和函数构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.)(ufy函数g与函数f构成的复合函数通常记为.gf第一讲函数与数列的极限二、基本初等函数oxy)1,1(112xyxyxy1xy(1)幂函数Rxy(是常数)第一讲函数与数列的极限xayxay)1()1(a)1,0((2)指数函数)1,0(aaayxxey第一讲函数与数列的极限(3)对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(第一讲函数与数列的极限(4)三角函数xysin正弦函数xysin第一讲函数与数列的极限xycosxycos余弦函数第一讲函数与数列的极限正切函数xytanxytan第一讲函数与数列的极限(5)反三角函数xyarcsin反正弦函数[1,1],[,]22xy第一讲函数与数列的极限xyarccosxyarccos反余弦函数[1,1],[0,]xy第一讲函数与数列的极限xyarctan反正切函数(,),(,)22xy幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.第一讲函数与数列的极限三、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数2xxeeshx双曲正弦2xxeechx双曲余弦xxxxeeeechxshxthx双曲正切第一讲函数与数列的极限§4数列的极限1.定义:设{nx}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得当Nn时，不等式axn都成立,那么就称常数a是数列{nx}的极限,或者称数列{nx}收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn一、数列极限的概念与性质2.性质存在性惟一性有界性第一讲函数与数列的极限二、数列极限的计算方法1.无穷大分裂法——分子分母同除以分母的最高次幂分子次数高结果为无穷大（极限不存在）分母次数高结果为零分子分母次数相同结果为最高次数系数比2.利用等差、等比数列求和公式1()2nnaanS1(1)(1)1nnaqSqq第一讲函数与数列的极限3.裂项消项法4.夹逼法专门解决和式数列的方法第一讲函数与数列的极限),0,0())(3(),,0())(2(),,0()1(RrbabaabRsraaaRsraaaarrrrssrsrsr课后习题讲解1.指数运算性质根式与指数式的互化mnmnaa11mnmnmnaaa第一讲函数与数列的极限对数的运算性质logbaaNbN10loglgloglneNNNN　　loglogloglogloglogaaaaaaNMNMNNMMloglog1log01loglogloglogaaaNaaaaaaNNNNN　　１　　第一讲函数与数列的极限2.()yfx()xy2x现在自变量是2()xy则1()2xy1()2yx7.1[()]111ffxx12xx10111xx12xx且,12xxRxx且(,2)(2,1)(1,)第一讲函数与数列的极限8.2xt2xt2()(2)1ftt2(1)(12)1fxx2610xx9.44loglog2yx221222loglog2x211log42x211log42xy2log42xy422yx214y214xy第一讲函数与数列的极限10.lim(12)nnnn12lim(12)12nnnnnnnn(1)(2)lim12nnnnnn3lim12nnnn3lim1211nnn32第一讲函数与数列的极限13.2111710xx3411xxx　　或[3,1)(1,4]3114xxx或第一讲函数与数列的极限14.二倍角公式2222sin22sincoscos22cos1cossin12sin　　　　　　(sin)1cos2xfx21(12sin)2x22(1sin)2x2()2(1)fxx第一讲函数与数列的极限15.12(1)()1xgxyx22yxy2()2xgxx2(())ln2xfgxx16.2()ln(1)fxxx2221ln[(1)]1xxxxxx21ln1xx21ln(1)xx2ln(1)xx()fx第一讲函数与数列的极限17.1()()(1)1fxgxx1()()1fxgxx1()()(2)1fxgxx(1)(2)得21()1fxx(1)(2)得2()1xgxx第一讲函数与数列的极限20.21221limln[(1)(2)()]1limln()nnnfffnnaaan(1)221limlnnnnan21(1)limln2nnnan1ln2a第一讲函数与数列的极限21.2223222211()1()11()1()1xxxxfxxxxx213xx第一讲函数与数列的极限2232()13xfxx32()13xfxx221131313xx211(1)313x2310()3fx33()3fx第一讲函数与数列的极限22.213lrrh弧长公式圆锥体积V=lR2rR2Rr22()2RhR2242R22241()322RRV2322424R第一讲函数与数列的极限23.()()fxfx()()fxfx()()2fxfx()()2fxfx()()()()()22fxfxfxfxfx24.112()()(1)fxfxx12()()(2)ffxxx(1)2(2)得22()3xfxx第一讲函数与数列的极限选做题1.222(1)(21)126nnnn放大222222333333121212nnnnnnnnn3(1)(21)6nnnn3(1)(21)6nnnn3(1)(21)1lim63nnnnn第一讲函数与数列的极限缩小222222333333121212nnnnnnnnnnnn3(1)(21)6nnnnn3(1)(21)6()nnnnn3(1)(21)1lim6()3nnnnnn第一讲函数与数列的极限2.()()()fxyfxfy0xy令得(0)2(0)ff(0)0f即xy令得(0)()()ffyfy0()()fyfy即第一讲函数与数列的极限