现代通信原理(02信息-2)

1第二章信号、噪声与信息论(2)2§2.3随机信号和随机噪声一.随机过程的基本概念1.随机过程确定性过程:事物变化的过程可用一确定函数关系描述。如:自由落体运动s(t)=gt2/2。随机过程:事物变化的过程不可用一确定函数关系描述。3样本函数：设随机试验Sk，每一次试验可用一个自变量为时间t的函数Xk(t)，即样本函数。样本空间：足够多的随机试验所构成的集合S。45随机过程：包括全部时间函数的总体，X(t)/{Xk(t)}。随机变量：在随机过程中取某一特定时间t1，得到的不含时间t变化的变量X(t1)，即随机变量。6分布函数：随机变量X取值不超过某个数x的概率是取值x的函数，记为：Fx（x）＝P（X＝x），则称此函数为随即变量X的分布函数。随机过程X(t)，随机变量X(t1)一维分布函数P1(x1,t1)=P[X(t1)≤x1](以噪声为例,在t1时刻噪声幅度小于x1的概率)二维分布P2(x1,x2,t1,t2)=P[X(t1)≤x1,X(t2)≤x2](在t1时刻幅度小于x1,在t2时刻幅度小于x2的联合概率)7概率密度函数(以噪声为例,是单位噪声幅度区间的概率值)设连续随机变量X的分布函数Fx（x）是连续的，而且除了个别点外，处处可以微分，则：称为随机变量X的概率密度。也即，概率密度是分布函数的导数。一维概率密度函数二维概率密度函数111111(,)(,)Pxtpxtx2112121121212(,,,)(,,,)PxxttpxxttxxdxxdFxpXx)()(8平稳随机过程：A、狭义随机平稳过程：对于一个随机过程，如果其N维分布，满足：称为狭义平稳随机过程，有：一维分布与t无关。如均值，方差2。二维分布只与=t2-t1有关，与t的具体值无关，如自相关函数R（）。12121212(,,...,;,,...,)(,,...,;,,...,)kkkkkkpxxxtttpxxxttt9广义平稳随机过程：如果给定的随机过程，有均值=常数均方差2自相关函数R（τ）只与τ有关则称这个随机过程为广义平稳随机过程。10二.随机过程的数字特征1.均值(数学期望):平稳：其本质就是随机过程所有样本函数的统计平均函数。在随机化信号或噪声中，均值表示其直流成分。,EXtxpxtdxatEXtxpxdxa112.方差(二阶中心矩)：表示随机过程在时刻t相对于均值a的偏离程度。平稳：在随机化信号或噪声中，均方差值表示其交流功率。22222,DXtEXtEXtxatpxtdxEXtEXtt222DXtEXtaxapxdx123.自相关函数:用来衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的相关特性。平稳：121212121212,,;,RttEXtXtxxpxxttdxdx121212,,;RttEXtXtxxpxxdxdxR13对于平稳随机过程，自相关函数有如下物理意义。1、R（0）是随机函数的平均功率。2、R（）是随机函数的直流功率。3、R（0）-R（）=2是随机函数的交流功率14自相关函数的性质:2222100REXtDXtEXta2RR30RR154.各态历经性(遍历性）：从随机过程得到的任意一个实现，好象经历随机过程的所有可能状态，因此，用一个实现的时间平均就可以代替它的统计平均。设平稳过程的统计平均值分别为：、2、R（）设平稳过程的时间平均值分别为：、2、R（）对于各态历经的平稳随机过程有：统计平均值等于时间平均值16具有各态历经的随机过程必定是平稳随机过程。平稳随机过程不一定是各态历经性的/2/21lim()TTTaaxtdtT/22/21limTTTxtadtT/2/21limTTTRRxtxtdtT175.高斯过程（正态分布）2221()()exp22xapx18三.平稳随机过程的频谱特性平稳随机过程X(t)的平均功率对于截短函数/22/21lim()TTpExtdtT()/2/2()0TXttttXt其它19随机信号的功率谱密度/2222/21()()()2TTTTEXtdtEXtdtEXd/2/2()()()TjtjtTTTXXtedtXtedt/222/2111lim()lim()2TTTTTpEXtdtEXdTT2()1lim2TTEXdT2()()limTTEXWT20各态历经平稳随机过程的功率谱密度函数与自相关函数构成傅里叶变换对，称为维拉——辛钦公式。例：具有随机相位θ的余弦信号X(t)=Acos(ω0t+θ)()()1()()2jjWRedRWed1/202()0p其它21解：20()()2ARCOS0000222()()200()()()4(44()()4jxjjjjjSRedAeeedAAededA22四.随机信号通过线性系统确知信号通过系统，由于输入信号可以用数学表达式表示。信号通过系统后的输出信号也可以用一个数学表达式表示。而对于随机信号，只能分析随机信号的特征值（如均值，方差，自相关函数等）通过系统后的变化。当输入过程是广义平稳的，输出过程也是广义平稳的。231.输出信号均值平稳随机过程的均值（数学期望）是它的直流分量，通过线性系统后，输出过程的均值等于输入过程的均值乘以系统的直流传递函数。()()()()Ythtxthxtd()()()()()()()(0)EYtEhxtdhExtdEXthdEXtH242.自相关函数输出过程的自相关函数也只与有关。111222121212121212121212(,)()()()()()()()()()()()()(,)()()()()YYRttEytytEhxtdhxtdhhExtxtddhhRttddhhRddR253.功率谱密度输出过程的功率谱密度是输入过程输入谱密度乘以功率传递函数。1212121212112212122jYYjjjjWRedhhRddedhedhedRedHHWHW26§2.4起伏噪声一．噪声的分类窄带噪声、脉冲噪声、起伏噪声二.起伏噪声的幅度分布热噪声、散粒噪声、宇宙噪声一维概率密度函数221()exp22nnnpn27三.白噪声1.定义：噪声的功率在整个频率轴上均匀分布，或者说功率谱密度为常数，则此噪声称作白噪声。记作：002()0nnWn双边功率谱密度单边功率谱密度28自相关函数001222jnnnRed292.带限白噪声理想低通白噪声0()20mnnW其他001(2)22mmjnmmnRedfnSaf30理想带通白噪声0()20lhnnW其他0000,21()2hllhhljnffRnedBnSaBCOS带宽B=中心频率3132§2.5窄带高斯噪声一．窄带高斯噪声的产生窄带网络---带宽B中心频率f0窄带高斯噪声—高斯白噪声经过窄带网络输出的带通噪声。33窄带类似于一个包络和相位随时间缓慢变化的正弦波。00000()()cos()()cos()cos()sin()sin()cos()sinnnnnnnIQntrtttrtttrtttnttntt()()cos()()()()sin()()InnQnnntrttntntrttnt其中是的同相分量是的正交分量22()()()()()()nIQQnIrtntntnttarctgnt包络相位34乘法器输出0000200000'()()cos2()cos()sincos2()cos2()sincos()()cos2()sin2()IQIQIIQIntnttnttntttnttntttntnttnttnt35nT’(t)为n’(t)的截短函数NT’(ω)=NT(ω+ω0)+NT(ω-ω0)000000()cos()()/2()sin()()/2FfttFFfttjF20000220000()()'lim()()0,()()'lim()()TTTTTTTTnnENNWTENNENNWTWW因为n(t)为随机数，具有互不相关特性，所以所以3600()()()()0nnmnInQ其它000()20mmnnW因为其它0()()0mnInQnWW所以其它373839二.窄带高斯噪声的统计特性一个均值为零的窄带平稳高斯噪声的同相分量和正交分量都是低通型平稳高斯噪声，且均值为零，方差都是σn2，在同一时刻上两者相互独立。()()0IQEntEnt222IQn(0)(0)(0)IQnRRR40同相分量和正交分量的联合概率密度包络和相位的联合概率密度Jacobi行列式22221(,)exp()22IQIQnnnnpnn(,)(,)nnIQprJpnnQInnnQInnnnrrJrnn41包络rn(t)的一维概率密度（边缘）为Rayleigh分布相位φn(t)的一维概率密度（边缘）为均匀分布2222222(,)(,)expexp2222002IQnnnnnIQnnnnnnnnrrrprJpyyr所以其中，22220()(,)exp2nnnnnnnnrrprprd01()(,)2nnnnpprdr42所以rn(t)，φn(t)两者也统计独立(,)()()nnnnprprp因为001()()()cos2jtnnRWedBnSaB43§2.6正弦信号加窄带高斯噪声正弦信号0()cosftAt00000000()()()cos()cos-()sin[()]cos-()sin()cos-()sin()cos[()]IQIQIQytftntAtnttn