大学数学 极限

1.3极限概念(limit)极限概念是微积分的基本概念。极限是一种非初等运算,也是微积分学研究的基本工具.后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。极限是高等数学中的一种重要的研究方法。极限是以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律,通过极限我们可以深入到函数的局部去了解函数,并且体会如何在运动的过程中把握变化的事物,从而深化对客观世界的认识。1.3.1数列的极限(limitofsequence)数列的定义：按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为数列。记作称为通项(一般项).,,,,,,4321nxxxxx,1,,41,31,21,1n数列的极限数列极限的定义，请同学们回忆一下。中国古代的极限思想：“一尺之椎，日取其半，万世不竭。”,21,21,21,21,21432n考察当n→+∞时，通项xn的变化趋势。数列极限的实质：)(0n例如,,1,,41,31,21,1n)(0n)(1n,2,,8,4,2n)(n趋势不定Axnnlim数列数列当项数n无限变大时的极限定义：数列的各项数值向一个常数无限靠近，则称常数为该数列的极限。记作或)(nAxn如果一个数列的极限存在,则称该数列是收敛(converge)；如果一个数列的极限不存在,则称该数列是发散(diverge)。,21,21,21,21,21432n常数0称为此数列的极限)(0n021limnn记作：,1,,41,31,21nnxn1)(0n01limnn例如,,1,,41,31,21nnxn1)(0nnnxnn1)1()(1n收敛,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定发散nn2lim,2,,8,4,2n)(n记作：例1.已知证明证:0nx2)1(1n时，0)1(12n可以无限变小故0)1()1(limlim2nxnnnn0nx01limnn01lim2nn0lim1nnq1q2limnn不存在1)1(limnn0)32(limnn函数随着自变量的变化而变化,研究函数的极限,就是研究当自变量按照某种方式变化时所对应的1.3.2函数的极限(limitoffunction)函数值的变化趋势。二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:1.x时,函数f(x)的极限xy1,5,4,3,2x0,51,41,31,21yxy1,3,3,3,3432x0,31,31,31,31432yxy1,10,10,10,10432x0,101,101,101,101432y定义：设函数y=f(x)在x大于某个正数a时有定义,A是某确定常数,如果当自变量x趋于时，f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在时以A为极限，)()()(limxAxfAxfx或1.x时,函数f(x)的极限x.,时的极限类似可定义xx记为指数函数)1,0(aaayxxayxay)1(a)1,0(xey)10(a如xexfy)(0limxxexxelim例如..01limxxoxyxy1同理:正弦函数xysinxysin不存在xxsinlimxycosxycos余弦函数不存在xxcoslim对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxyalog)1(a)0,1()10(axxlnlimxyarctanxyarctan反正切函数2arctanlimxx2arctanlimxx2.0xx时,函数f(x)的极限2xy,51,41,31,212222y00,51,41,31,21x2xy,51,41,31,212222y00,51,41,31,21x2xy,51,41,31,212222y0061,51,41,31,21x2xy0,31,31,31,31432x0,31,31,31,318642y1)1(22xxy998.3,98.3,6.3,2.3,2y999.0,,99.0,9.0,8.0,5.0x141)1(22xxy002.4,02.4,2.4,4.4,5y,001.1,01.1,1.1,2.1,5.1x14定义：设函数y=f(x)在点x0的某空心邻域内有定义，A是某确定常数，如果当自变量x趋近于x0时，f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在x趋于x0时以A为极限，2.0xx时,函数f(x)的极限)()()(lim00xxAxfAxfxx或记为x1yo10)(lim0xfxxoy12)(lim1xfx2正弦函数xysinxysin1sinlim2xx0sinlim0xxxycosxycos余弦函数1coslim0xx0coslim2xx0coscoslim0xxxx0sinsinlim0xxxx00limxxxx可以证明：以下的极限均成立CCxx0lim3.单侧极限---左极限与右极限左极限:)0(0xfAxfxx)(lim0x如果当从0x的左侧无限趋近0x时,记着,0xx函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当0xx时的左极限。记作类似可定义右极限:)0(0xfAxfxx)(lim0函数的左极限和右极限统称为单侧极限。x1yo)(lim)00(0xffx0lim0xx对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxyalog)1(a)0,1()10(axxlnlim0例如：xxxxxxxfy2,1220,sin01,)(2),(lim0xfx求0lim)(lim200xxfxx0sinlim)(lim00xxfxx)(lim0xfx定理1.1：Axfxx)(lim0当时,函数极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即)(xf0xxAxfxfxxxx)(lim)(lim00例6.设函数0,10,00,1)(xxxxxxf讨论0x时)(xf的极限是否存在.解:利用定理因为)(lim)00(0xffx)1(lim0xx1)(lim)00(0xffx)1(lim0xx1显然,)00()00(ff所以)(lim0xfx不存在.xyo11xy11xy0,10,00,1)(xxxxxxf例7问a为何值时,所给函数x=2处极限存在。)2(2)2(2)2(10)(2xaxxaxxxf解：左极限2010lim)(lim)02(22xxffxx右极限aaxxffxx24)2lim)(lim)02(222（欲函数在x=2处极限存在，必须左极限等于右极限，即a=8思考：1)研究函数极限时,是否要考虑f(x)在x=x0时的性态？为什么？2)若f(x0+0)和f(x0-0)都存在,当x趋于x0时,f(x)的极限存在吗？3)如何利用f(x0+0)和f(x0-0)来判断当x趋于x0时,f(x)的极限不存在？？4)若极限)(lim0xfxx是否一定有)()(lim00xfxfxx？1coslim0xx0coslim2xx2arctanlimxx2arctanlimxx1sinlim2xx0sinlim0xx0limxxe01limxx常用的极限结果：xxelim2limxxxxlnlimxxlnlim0xx1lim0xxcoslimxxsinlim极限不存在的有：练习：设)1(12)11(1)1()(2xxxxxxxf求：)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx0)1(lim)(lim11xxfxx不存在)(lim1xfx1)12(lim)(lim11xxfxx1)1(lim)(lim2211xxfxx作业NO.13:(3)分析22)3(2xxy的复合结构.解:由2232xxvvuyu复合而成的.作业NO.13:(4)分析3)]5cos3tan(1[3xy的复合结构.解:由xttvvuuy5cos3tan1323复合而成的.xhttvvuuy5cosh3tan133NO14.不存在xxxfxx00lim)(lim解：左极限11limlim)(lim000xxxxxxf右极限11limlim)(lim000xxxxxxf)(lim)(lim00xfxfxx不存在xxx0limNO18.设函数0lim)(lim)00(00xxffxx22lim)(lim)01(11＋＋xxxff21,210,0,1)(xxxxxxf解:xxffxx1lim)(lim)00(001lim)(lim)01(11xxffxx