第3章 - 矩阵特征值和特征向量

1第3章矩阵特征值和特征向量简介迭代法（乘幂法）乘幂法的加速反幂法2§1简介线性代数中矩阵的特征值与特征向量能反映矩阵的性态，在理论上重要。而工程技术中的许多问题，如桥梁的振动，机械的振动，建筑物的振动及飞机机翼的颤动，这些问题的求解常归结为求矩阵的特征值问题，另外一些稳定性分析问题(例如地震信号反演)也会转化为求特征值与特征向量的问题。3基本概念n阶方阵A的特征值是特征方程det(A-E)=0的根.A的特征向量是齐次线性方程组(A-E)x=0的非零解.41112121222120nnnnnnaaaaaaaaaAI即要求将行列式展开，得关于的n次多项式：12121()0nnnnnCCCCn不大时，如n4解特征方程，可求出全部特征值（n3较难）当n较大（n5），计算量极具增大，且一般不可能求得准确结果，还可能出现不稳定，所以当n稍大一般根据实际问题的需要，采用相应的的数值解法。5§1乘幂法很多应用，例如谱半径、范数等计算只需求出矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。6乘幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的方法.问题：设A是单构矩阵,即A有n个线性无关的特征向量，其n个特征值为|12n对应的特征向量为x1,x2,…xn线性无关.求1和x1.7乘幂法的基本思想是取初始向量v(0)Rn,作迭代v(k+1)=Av(k)=Ak+1v(0),k=0,1,2,…产生迭代序列v(k).由于x1,x2,…xn线性无关,从而有v(0)=a1x1+a2x2+…+anxn故有v(k)=Akv(0)=a11kx1+a22kx2+…+annkxn(3.1)81.设|12n，(3.1)式可写成若a10,则对充分大的k有()21112211()()kkkknnnaaavxxx()111kkavx(1)1()1111,kkkavxv因而有(1)()1/1,2,,kkiivvin或取(1)(1)(1)121()()()1211()kkknkkknvvvnvvv而特征向量x1v(k).乘幂法的收敛速度取决于|2/1|的大小.9求矩阵A的按模最大的特征值解取v(0)=(1,0)T,计算v(k)=Av(k-1),结果如下例111451156Akv1(k)v2(k)v1(k)/v1(k-1)v2(k)/v2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.10说明2：而k充分大时，会随k的增大而无限增大或无限趋于0，这样上机计算时会产生溢出（上溢或下溢）的情况，为避免这种情形出现，实际计算时，每次迭代求得的向量x(k)要进行归一化（规范化）处理：取x(k)中绝对值最大的一个分量除x(k)，这样将x(k)的分量全部控制在[-1,1]中，而1是由相邻二次分量的比值所决定，因此不会受到影响。1111或1111111kkuu及说明1：一般有10，若恰好x(0)使1为0，也不影响上述法，因为实际计算中，由于有舍入误差的影响，迭代n次后所得到的向量x(k)在u1方向上的分量不会为0，因此，可得x(2)为初始向量。可继续迭代下去。11对非零向量v,用max(v)表示v的按绝对值最大的分量,称向量u=v/max(v)为向量v的规范化向量例如,设向量v=(2,1,-5,-1)T,则max(v)=-5,u=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可见规范化向量u总满足‖u‖=1.规范化计算公式:任取初始向量u(0)=v(0)0,()(1)()()()max()/,1,2,3,kkkkkkkkvAuvuv则11(0)11()2(0)112()max()max(())iinkkiikinkkiiiaaaaxxAvuAvxx1211(0)11()2(0)112()max()max(())iinkkiikinkkiiiaaaaxxAvuAvxx所以()11limmax()kkxux其收敛速度由比值|2/1|来确定.1111()211112max[()]max()max[()]iinkiikiknkiiiaaaaxxvxx所以1limkk因此,当k充分大时可取:1k,x1u(k).13计算流程1.输入A，初始向量，误差限ε,最大迭代次数N2.置k=1，μ=0；3.求整数r，使得4.计算y=x/α，x=Ay，xr5.若输出λ，x，停止。否则下一步。6.若kN,置k+1k,，转3.否则输出错误信息，停止。1max,ririnxxx,14如用规范化乘幂法解例1,仍取u(0)=v(0)=(1,0)T,则有故可取10.412627,x1(1,0.813138)T.k01234k0.250.410.4126020.412627u1(k)11111u2(k)00.80.8130080.8131360.81313815例2用乘幂法求A的按模最大的特征值和相应特征向量41405130102A解取初值u(0)=v(0)=(1,1,1)T,计算得16kku(k)0123…101112107.26.5…6.0033526.0016756.000837(1,1,1)T(1,0.8,0.1)T(1,0.75,-0.111)T(1,0.730769,-0.188034)T…………………..(1,0.714405,-0.249579)T(1,0.714346,-0.249790)T(1,0.714316,-0.249895)T可取16.000837,x1(1,0.714316,-0.249895)T.实际上,A的3个特征值分别为1=6,2=3,3=2.172.设1=2==r,且|1r+1n,(3.1)式可写成()1111221111()()kkkknrrrrrnnaaaaavxxxxx若a1,a2,…,ar不全为零,则对充分大的k有()11122kkrraaavxxx由于a1x1+a2x2+…+arxr是对应1的特征向量,若仍记为x1,则有:v(k)1kx1,故前面的结论仍然成立.183.设1=-2,且|1=|2|3n,(3.1)式可写成()311122131(1)kkkkknrnnaaaavxxxx则对充分大的k有v(2i)12i(a1x1+a2x2),v(2i+1)12i+1(a1x1-a2x2)()11122(1)kkkaavxx于是有(2)()1/,1,2,,kkiivvinx1v(k+1)+1v(k),x2v(k+1)-1v(k)19的按模最大特征值和相应的特征向量。例3用乘幂法求矩阵41116221631A解取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,2)T,计算可得20kku(k)01234567891011113.5536284.6792043.4611244.6354653.4526554.6321163.4543154.6319293.4542914.631920(1,1,2)T(0.454545,0.909091,1)T(0.537222,0.972116,1)T(0.465201,0.994041,1)T(0.539392,0.998269,1)T(0.465721,0.999627,1)T(0.539487,0.999892,1)T(0.465890,0.999975,1)T(0.539495,0.999993,1)T(0.465893,0.999999,1)T(0.539495,1,1)T(0.465893,1,1)T2112133.4542884.631924(0.539495,1,1)T(0.465893,1,1)Tx2=13u(13)-1u(12)=(0,0.631924,0.631924)T.1121323.4542884.6319244,4x1=13u(13)+1u(12)=(4.315961,8.631924,8.631924)T,实际上,A的特征值为1=4,2=-4,3=1.22§3乘幂法加速由于()211max(3.2)kkkvo所以,乘幂法收敛速度取决于比值|2/1|,当|2/1|1时,收敛是很慢的.231.原点移位法作矩阵B=A-pI,则B的特征值为且对应的特征向量相同.,1,2,...,iimpin(1)()11121112211()()(kkkkknnnxpxpppuuuppAI对B应用幂法24则对B应用乘幂法可达到加速收敛的目的。选取p,使m1仍然是B的按模最大特征值，且满足222111mpmp25解：由于A的特征值为1=6,2=3,3=2,故取p=2.5,则B的特征值为m1=3.5,m2=0.5,m3=-0.5,则取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,1)T,由规范化计算公式:例4用原点位移法求例2中矩阵A的按模最大的特征值和特征向量.6.51402.5510.50100.5BAE26计算可得()(1)()()()max(),1,2,3,kkkkkkkkvBuvuvkkU(k)01234567.53.7666623.5353963.5050023.5007183.500102(1,1,1,)T(1,0.733333,-0.2)T(1,0.716814,-0.238938)T(1,0.714643,-0.249061)T(1,0.714337,-0.249777)T(1,0.714293,-0.249981)T(1,0.714287,-0.249995)T27这是因为|2/1|=1/2,而|m2/m1|=1/7,故对B应用乘幂法远比对A应用乘幂法收敛的快.取16+2.5=6.000102,x1u(6)=(1,0.714287,0.249995)T原点移位法较简单，然而0选取是很困难的，一般的，如果对特征值的分布情况有大概了解，可粗略估计出0。1212020(0),1()2nnnA当的特征满足或时可取证明略282.Aitken加速由()211max(3.2)kkkvo可见,序列k线性收敛于1.构造Aitken序列会达到加速收敛的目的.11211lim0kkk2121()2kkkkkkk可得29ku(k)107.26.5…6.0033526.0016756.000837(1,1,1)T(1,0.8,0.1)T(1,0.75,-0.111)T(1,0.730769,-0.188034)T…………………..(1,0.714405,-0.249579)T(1,0.714346,-0.249790)T(1,0.714316,-0.249895)Tk0123…1011126.266667………6.0000176.