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1第六章像差计算6.1光学系统的像差这里将提供像差的数值计算。掌握各种像差的基本概念.特别是初级像差。以及各种表面和薄透镜的三级像差贡献。光学计算通常要求6位有效数字的精度,这取决于光学系统的复杂程度、仪器精度和应用的领域。三角函数应在小数点后面取6位数,这相当于0.2弧秒。这样的精度基本上满足了绝大多数使用要求。当然,结构尺寸较大的衍射极限光学系统要求的精度比这还要向些。光学计算所花费的时间明显地取决于设计者的技巧和所使用的计算设备的先进程度。计算技术发展到今天,就是使用普通的个人计算机,光学计算所需的时间也已经很少了。但要对一个复杂的系统进行优化设计,特别是全局优化设计时.还是要花费一定的时间的。关于如何进行光学设计,一直有两种观点。一种观点主张以像差理论为基础,根据对光学系统的质量要求,用像差表达式,特别是用三级像差表达式来求解光学系统的初始结构,然后计算光线并求出像差,对其结果进行分析。如果不尽人意,那么就要在像差理论的指导下,利用校正像差的手段(弯曲半径,更换玻璃、改变光焦度分配等),进行像差平衡,直到获得满意的结果。如果最后得不到满意的结果,那么就要重新利用像差理论求解初始结构,而后再重复上述的过程,直到取得满意的结果。另一种观点是从现存的光学系统的结构中找寻适合于使用要求的结构,这可从专利或文献中查找,然后计算光线,分析像差,采用弯曲半径,增加或减少透镜个数等校正像差的手段,消除和平衡像差,直到获得满意的结果。对于常规物镜,如Cooke三片,双高斯、匹兹瓦尔物镜等.常采用这种方法。这种方法需要计算大量的光线(计算机发展到今天。这已不成问题),同时需要光学设计者有较丰富的设计经历和经验.以便对设计结果进行评价。通常我们可以把二者结合起来,以像差理论为指导,进行像差平衡。特别是计算机发展到今天,光学计算已经不是干扰光学设计者的问题了。对于常规镜头,通常不再需要像以前那样从求解初始结构开始,而是根据技术指标和使用要求、从光学系统数据库或专利目录中找出合适的结构,然后进行计算和分析。采用自动光学设计程序和优化方法,再加上人的丰富经验。常总会得到令人满意的结果的。但对于非寻常的物镜结构,或者特殊要求的物镜,采用现成结构很可能满足不了要求,这时就要从技术指标和像差要求出发,求解初始结构。2然而不管采用哪种力法,都要掌握光学设计理论和积累丰富的光学设计经验。在近轴光学中,我们讨论了理想光学系统的成像特性。也就是说,在这些系统中,所推导出的公式和得出的结论仅适用于光轴附近很小的区域,这个区域称为近轴区域。如果一个光学系统的成像仅限于近轴区域是没有什么实际意义的,因为进入的光能量太少,分辨率又很低。我们知道,分辨率和光学系统的通光口径有直接关系,口径越大,分辨率越高,进入系统的能量也越多。事实上,任何光学系统都具有一定的孔径和视场。有的光学系统相对孔径很大,有的比学系统现场很大,大孔径大视场的镜头也不少见。在这些情况下、仅仅用近轴光学理论来研究光学系统就不适合了。必须采用精确的三角光线迫迹公式进行光线计算(我们在前向已经讨论丁子午面内光线和空间光线的光线迫迹),求出光线在像面上的准确位置。这样得出的结果往往和近轴光线追迹公式得出的结果有差别,笼统地说,这种差别就是像差。当然,这种说法并不严密。用近轴光线追迹公式进行光线计算得出的像点(理想像点)与在不同孔径下用精确的三角追迹公式进行光线计算得出的像点之间往往并不重合,这个差别称为像差。这样的像差是以近轴像点作为参考点来计算的。事实上,近轴像点不一定是最佳像点,如果以最性像点作为参考点、那么像差值就不—样了。因此,确切地说,像差的大小和正负是对具体的参考点(或面)而言的。像差是一个比较复杂的概念.很难用简单的几句话表达清楚。上面的说法并不很准确.只说明了轴上点的情况,还没有论及不同视场的像差情况。按照儿何光学和近轴光学理论、一个点目标经过光学系统成像后仍为一个点。然而,实际情况并非如此,根据光的衍射理论,即使光学系统没有任何像差.是理想成像的,一个点目标经过该系统成像后,也不足一个点像。而是一个弥散的爱里盘(也称弥散盘)。实际上、绝对无像差的光学系统是不存在的。因此,由于光的衍射和光学系统像差的存在,一个点目标经过光学系统所成的像是一个比较复杂的图像.而不是一个点像,目标上各个点经过光学系统所成的像的综合就构成了整个日标的图像。像差可以校正得尽量好,但衍射效应的影响是无法消除的。为了减少因衍射效应所导致的弥散盘的尺寸,在使用波长确定的情况下,唯一的方法就是加大系统的通光口径,但通光口径的增加又受到像差的制约。这里我们主要介绍一下像差的基本概念,理解像差的物理意义,它们产生的主要原因,以及降低或消除它们的主要途径。3确定光学系统像差的最普通和最直接的方法就是追迹光线。除了追迹近轴光线之外,还要用光学三角公式追迹不同口径和视场下的光线(有时候也称这样的光线为大光线),然后根据光线计算的结果来确定和分析各种像差。在计算机没有普及之前,光学设计者要把70%以上的精力花在“追”光线上。个人计算机的发展和普及把光学设计者从繁冗的光线计算中解脱出来,使其有充分的时间和精力致力于光学仪器和光电设备的总体结构分析,光学系统的总体设计、优化设计和质量评价等方面,以便研制出性能更好,功能更齐全的设备来。像差分单色像差和颜色像差两大类。像差又有初级像差和高级像差之分,初级像差也叫做三像保差或赛得(Seidel)像差,而高级像差又有五级像差、七级像差之分。单色初级像差又有轴上点像差和轴外点像差之分,轴上点单色像差只有球差一种,轴外点单色像差有慧差、像散、像面弯曲、畸变等。颜色像差的初级量主要有轴向(纵向)色差和倍率(横向)色差两种,高级色差主要有二级光谱、色球差等。我们主要讨论像差的初级量。6.2球差球差是由光学系统的口径面引起的,也就是说,球差是光学系统口径的函数。如图6.2.1所示,由轴上物点A发出近轴光线1和'1,经过光学系统之后交轴上'A;由A点发出的上、下边缘光线3和'3经过光学系统后交轴上于'C点;由A点发出的上、下带光线(MZUU7.0)2和'2经过光学系统后交光轴于'B点。它们的后截距分别为ZMLLl',','。如果我们以近轴焦点作为参考点,那么边缘光线的纵向球差为:'''lLLAMM(6.2.1)带光光线的纵向球差为:'''lLLAZZ(6.2.2)如果0'MLA,球差为负,称之为欠校正球差。如果0'MLA,球差为正,称之为过校正球差。在正常情况下,正透镜有欠校正的球差,而负透镜有过校正的球差。为了更直观地表征因球差引起的像点的弥散程度,常常采用横向球差的概念,它们是纵向球差在近轴像面上的投影(弥散),数学表达式为:4MMMMMULAUlLTLA'tan''tan)''('(6.2.3)ZZZZZULAUlLTLA'tan''tan)''('(6.2.4)图6.2.1具有球差的透镜上面讨论的球差是以近轴像点(理想像点)为参考点来计算如果不以近轴像点为参考点,球差的值也就有了变化。因此说,像差值是对某—具体的参考点(或面)而言的。不过通常均以近轴像点为参考点。严格地说,应以最佳像点为参考点才对。所谓的最佳像点(或像面)就是在该点处,点目标的像的弥散盘最小,分辨率最高。最佳像面的选取并不是—件容易的事情。有时候,一个像面对于轴上点是最佳的,但对于轴外点却不是。因此在选取最佳像面时,要综合考虑轴上点和轴外点,找出不同口径和不同视场均可接受的最佳假面。然后以该像面作参考面来计算像差值,才是该系统的最后像差值。在我们未就光学系统整体质量分析之前,我们仍以近轴像点为参考点。用于光学计算的三角公式组可以精确地计算光学系统在不同物距、不问口径下的球差值。表达球差的方法通常是图形法和数字法并用。球差的图示法有两种,一种是纵向球差的图示法,另一种是横向球差的图示法。图6.2.2画出了上'~'ULA的球差曲线,横坐标为纵向球差值,纵坐标为孔径角或光线高度。图6.2.2纵向球差曲线('~'ULA)5图6.2.2(a)为欠校正(其实是未校正)的球差曲线,(b)为边缘球差完好校正的球差曲线,(c)为过校正球差曲线。图6.2.3画出了另一种纵向球差曲线,即'sin~'2ULA(近似为2'u)曲线。用2'u作纵坐标的好处是,球差和2'u所构或的图形的面积之半等于波像差,这样一来,由纵向球差曲线可直接计算山波像差来,球差和波像差的关系为:202)('2'uudLAnW(6.2.5)式中,W为波像数,也叫光程差(OPD)。图6.2.32'~'ULA曲线图6.2.3中的曲线与图6.2.2的曲线相对应,只是纵坐标不同而已。为了更直接地估价轴上点目标所成的像的几何弥散情况,常画出横向球差图。横坐标为孔径角的正切,纵坐标为光线在参考像面上的高度,这样的图也叫UHtan~,曲线。图6.2.4(a)是边缘球并欠校正的横向球差图;(b)是边缘球差完好校正的横向球差图;(c)是边缘球差过校正的横向球差图。图6.2.4横向球差曲线'tan~'UH6当系统的孔径和焦距确定之后,对于单透镜.球差是目标位置和透镜形状(弯曲)的函数。例如,当目标为无穷远时,单透镜的第一、第二半径近似为平凸(凸面在前)时,球差值为最小;当物像处在1时,等凸透镜的球差为最小。对于单透镜而言,只能降低球差,而不能校正球差。通常、正透镜的球差是欠校正的,负透镜的球差是过校正。球差的存在使图像变模糊相对比度降低,从而降低了系统的分辨率。因此,光学系统的球差通常是要校正的。然而,球差的校正仅是对具体的带而言的,其他的带是有残留保差存在的。为了准确地估价球差,画出正确的球差曲线,可以多选几个带来追迹光线,如0.85带、0.707带、0.5带、0.3带等,求出它们的球差值。对于绝大多数系统,纵向球差的表达式可近似为:42'bYaYLA(6.2.6)式中:Y是光线在表面上的高度,a和b为常数。如果边缘(MY)校正到零,那么最大的带球差出现在MMYYY707.022(6.2.7)这是选择0.707带来计算带球差的主要理由。球差只是孔径的偶函数,与视场的大小没有关系。初级纵向球差的几何量与孔径的平方成正比。6.3慧差和正弦差(OSC)慧差是一种轴外像差。但慧差和某些轴外像差,加像散、畸变等不一样,后者只是视场的函数。而慧差则不同,它既是视场的函数,又是孔径的函数。当视场一定时,慧差随孔径的变化而变化。这时的慧差可以定义为放大率随孔径的变化。通过光学系统入射光瞳中心的光线(主光线)的成像高度和通过入射光幢上、下边缘光线的成像高度常常是不一祥的。如果由轴外物点追迹三条于午光线:即通过人瞳中心的上光线,通过入瞳的上、下边缘的光线。求出这些光线在近轴焦面上的截点高度、分别用APHH','和BH'来表示。如图6.3.1所示。由此求得子午慧差为:PBATHHHK'2'''(6.3.1)7图6.3.1慧差的意义实际上,上、下边缘光线在近轴像面上相交的情况是很少的,也就是说,AH'不等于BH'。慧差也可以这样来表示:上、下边缘光线在像方的交点高度与主光线在同一像面的高度之差。PABTHHK'''(6.3.2)式中:ABH'是由光轴到上下边缘光线在像方交点的高度。我们通过ABH'作垂直于光轴的平面,PH'就是主光线在该平面上的交点距光轴的高度。由于慧差本身是一个小量,因此式(6.3.1)和(6.3.2)的差别是微乎其微的。慧差的外观表现犹如天空中慧星的长尾巴,这是取名慧差的主要原因。由上面的公式可以看出;当主光线高度PH'在上、下孔径边缘光线的像方交点之上时,慧差为负值,即ABPHH'',此时慧差为欠校正。当主光线高度PH'在上、下光线交点之下时,ABPHH'',此时慧差为正值,称为过校正。通常,子午慧差为弧矢慧差的3倍,弧矢慧差也可通过追迹空间光线的方法计算出来。慧差既是孔径的函数,又是视场的函数。通过对不同的物高追迹上述光线可以求出慧差随视场的变化,通过追迹不同孔径带的光线可以求出慧差随孔径的变化。我们知道:球差只是光学系统孔径的
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