第05章 测量误差的基本知识

第5章测量误差的基本知识武汉大学水利水电学院邓念武5.1测量误差的来源及其分类5.1.1测量误差的定义真值X：观测对象客观存在的量。观测值L：每次观测所得的数值。真误差△：△＝L–X5.1.2测量误差的来源仪器、人、外界条件三方面的因素综合起来称为观测条件。观测条件相同的各次观测称为等精度观测。观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。注意区分误差和错误的区别误差来源的来源：仪器设备不尽完善人的感官不稳定自然环境的影响5.1.3测量误差的分类1．系统误差在相同的观测条件下对某量进行多次观测，如果误差在大小和符号上按一定规律变化，或者保持常数，则这种误差称为系统误差。经过一定的观测手段或加改正数的方法，系统误差基本可以消除。2．偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，其误差在大小和符号上都具有偶然性，从表面上看，误差的大小和符号没有明显的规律，这种误差称为偶然误差。5.2偶然误差的特性及算术平均值原理5.2.1偶然误差的特性abc△i=ai+bi+ci-180°（i=1,2,········174）举例：误差区间（″）正误差负误差个数相对个数个数相对个数0～1010～2020～3030～4040～5050～6060以上322315115200.1840.1320.0860.0630.0290.0120.000312117114200.1780.1210.0980.0630.0230.0110.000和880.506860.494误差分布表结论1.在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；3.绝对值相等的正负误差出现的机会几乎相等；4.当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即0limlim21nnnnn5.2.2算术平均值原理设对某个量X（真值）进行了n次等精度观测，得观测值L1、L2、…、Ln，则其算术平均值x为：nLnLLLx111算术平均值原理认为：观测值的算术平均值是真值的最可靠值。算术平均值原理的证明：n、、、21XLXLXLnn2211XnLn][nXx][以分别表示L1、L2、……Ln的真误差，则将各式相加，两边除以n，有：即：由偶然误差特性4可知，当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零，此时观测值的算术平均值x将趋近于真值X。5.3衡量精度的标准5.3.1中误差n、、、21nm设对一个未知量X进行多次等精度观测，其观测值为L1、L2、…、Ln，其真误差为我们取各个真误差平方和的平均值的平方根，定义为中误差m，即：1.2591049甲m4.25410169乙m举例：设有甲、乙两组观测值，其真误差分别为：甲组：-3″、-2″、0″、＋1″、＋3″乙组：＋3″、-4″、0″、＋1″、-2″则两组观测值的中误差分别为：注意：以上所计算的中误差称为一次观测中误差。5.3.2容许误差在实际工作中，常采用二倍中误差作为容许误差，即：Δ容＝2m当要求较低时，也可采用三倍中误差作为容许误差，即：Δ容＝3m容许误差又称极限误差、最大误差和允许误差。5.3.3相对中误差100011001.01111mmLmN5000110002.01222mmLmN举例：丈量两段长短不等的距离，一段长100米，中误差为±0.1米，另一段长1000米，中误差为±0.2米。前一段的相对中误差为：后一段的相对中误差为：通过相对中误差判断：第二段距离比第一段距离丈量的精度高。5.4观测值函数的中误差——误差传播定律5.4.1观测值和或差函数的中误差问题的提出：设有函数yxz式中z是x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值。设x、y的中误差分别为mx、my，求z的中误差mz。yxzyixizi][2][][][222yxyxznnnnyxyxz][2][][][22222][zzmn22][xxmn22][yymn222yxzmmm22yxzmmm假如对x和y分别以同精度各观测了n次，则：将上述n个公式两边平方，然后相加得：将上式两边除n，得：或（i＝1，2……n）求解：跳到误差独立问题nxxxz2122221nzmmmmnmmm21mnmz讨论：（1）当函数z为n个独立观测值的代数和时，即：按上述的推导方法，可得出函数z的中误差为：（2）当观测值为同精度观测时，即各观测值的中误差均为m，即则有：举例：设在两点间进行水准测量，已知一次读数的中误差mmm2读，求观测n站所得高差的容许误差（取m2容）为多少？解：水准测量一站的高差bah站则一站高差的中误差为：mmmmmm8.222222读读读站观测n站所得总高差Σh为：nhhhh21观测n站所得高差Σh的中误差为：mmnmnmh8.2站观测n站所得高差Σh的容许误差为：mmnnmhh6.58.222需要指出的是：上述分析仅仅考虑了读数误差，不能作为实际测量中的限差要求。5.4.2观测值倍数函数的中误差问题的提出：设有函数z＝kx式中z为观测值x的函数，k为常数。已知x的中误差是mx，求z的中误差mz△z＝k△x若对x共观测了n次，则：△zi＝k△xi（i＝1，2……n）将上述n个公式两边平方，然后相加得：][][222xzk求解：nknxz][][222222xzmkmxzmkm上式两边除n得：按中误差定义，将上式写成：或算例：在1：1000比例尺地形图上，量得某直线长度d＝234.5mm，中误差md=±0.1mm，求该直线的实地长度D及中误差mD。解：实地长度D＝1000×d=1000×234.5mm＝234.5m中误差mD＝1000×md＝1000×(±0.1mm)=±0.1m最后结果写成：D=234.5m±0.1m5.4.3线性函数的中误差nnxkxkxkz2211nxxx21、nkkk21、设有线性函数式中均为独立观测值，为常数，问题的提出：已知nxxx21、的中误差分别为nmmm21、求Z的中误差。参考和差函数和倍数函数中误差的关系，有：22222221212nnzmkmkmkm2222222121nnzmkmkmkm求解：引入函数，则有nyyyz21iiixky321615141xxxz232221361251161mmmmz举例：设有某线性函数式中：分别为独立观测值，中误差分别为、求函数z的中误差解：由线性函数中误差的关系式有：321xxx、、321mmm、、5.4.4一般函数的中误差),,,(21nxxxfzix问题的提出：设有函数式中（i=1，2……n）为独立观测值，中误差为mi（i＝1，2……n），求函数z的中误差mz。nndxxfdxxfdxxfdz2211nnxxfxxfxxfz2211求解：上述函数的全微分表达为：由于真误差△均为小值，故可用真误差替代微分量，得：参考线性函数中误差的关系式有：2222222121)()()(nnzmxfmxfmxfm举例：设有某函数cosDZ式中D＝20.000m，中误差mmmD2；000060，中误差02m；求Z的中误差Zm。解：根据函数式cosDZ，Z是D及的一般函数。其真误差的关系式为：)()(zDzDZ将上式转化为中误差关系式：22222mzmDzmDZ式中：cosDz，sinDz故：22222)()sin(cosmDmmDZ=22322)20626520()866.01020()2()5.0(=1+2.82=3.82mmmZ95.1应用误差传播定律求观测值函数的精度时，可按下列步骤进行：（1）根据要求列出函数式)(21nxxxfz、（2）对函数式求全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式nnxxfxxfxxfz2211（3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式2222222121)()()(nnzmxfmxfmxfm设有函数yxz，式中xy5，已知x的中误差为xm，求y和z的中误差。解1:由xy5可得：xymm5；由yxz可得z的中误差为xxxyxzmmmmmm26252222解2：由xy5可得：xymm5；由yxz及xy5可得：xz6z的中误差为：xymm6误差独立：和差函数5.5等精度直接平差5.5.1观测值中误差m在已知观测值真误差的情况下，同精度观测值的中误差公式为：nm其中XLii（i=1、2……n）观测量的算术平均值x与观测值Li的差数称为改正数，用vi表示：iiLxv（i＝1、2……n）1nvvm上式就是用改正数v来计算观测值中误差的公式。5.5.2算术平均值中误差M设对某量进行n次等精度观测，得观测值L1、L2、……、Ln，各观测值的中误差均为m，算术平均值的中误差以M表示。现推导算术平均值中误差M的计算公式如下：nLnLnLnnLx11121中误差为：nmmnmnmnM22222222111故nmM举例：设对某一水平角进行五次等精度观测，其观测值列于下，试求其观测值的最或然值、观测值中误差及算术平均值（最或是值）中误差。解：1、计算最或然值603452nLX2、计算观测值中误差5.9153601nvvm3．计算算术平均值中误差2.455.9nmM编号观测值L改正数VVV精度评定152°43′18″-12″144252°43′12″-6″36352°43′06″00452°42′54″+12″144552°43′00″＋6″36总和603452x0V360VV5.9153601nvvm2.455.9nmM