8. 2012年全国高中数学联赛江西预赛

预赛试题集锦（2013）高中竞赛1思维的发掘能力的飞跃2012年全国高中数学联赛江西省预赛一．填空题（每小题8分，共64分）1.椭圆221259xy的内接正方形面积是_______．2.如果两个锐角，满足：(sincos)(sincos)2，则2(sin2cos3)(sin22cos3)_______．3.正三棱锥DABC的底面ABC的边长皆为6，各侧棱长皆为5，点I是侧面DAB△的内心，则四面体IABC的体积是_______．4.若实数abc，，满足：222abcabc，则abc的最大值是_______．5.函数2(11)yxx的最大值是_______．6.三个互异正整数abc，，构成等比数列，其和为111，则abc，，_______．7.将各位数字之和为5的正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则2012是其中的第_______项．8.我们注意到，218324，224576，它们分别由三个连续数码234，，以及5,6,7经适当排列而成；而2664356则是由四个连续数码3456，，，适当排列而成；那么，下一个这种平方数是：_______．二．解答题(本大题共4小题，共86分)9.(本小题满分18分)如图，抛物线2yx的顶点为O，AB是过焦点F的一条长度为2的弦，D是AB的中垂线与y轴的交点．求四边形AOBD的面积．10.(本小题满分18分)数列na定义如下：11a，对于每个nN，414243nnnaaa，，构成等差数列，其公差为2，而434445nnnaaa，，构成等比数列，其公比为12．证明：na为有界数列，并求出其最小上界．11.(本小题满分25分)证明：对每个正整数n，存在正整数()pn，使得能将前()pn个正整数所排成的数列12()pn，，，顺次分成为这样的n段，其中每一段中的各数之和都是平方数．预赛试题集锦（2013）高中竞赛2思维的发掘能力的飞跃12.(本小题满分25分)如图，锐角ABC△中，T是高线AD上的任意一点，BT交AC于E，CT交AB于F，EF交AD于G，过点G的一直线l与ABACBTCT，，，相交，交点分别为MNPQ，，，．证明：MDQNDP．