陈天富材料力学第九章 应力和应变分析和强度理论-修订版

第9章应力和应变分析和强度理论§9-1应力状态概念一一点的应力状态1一点的应力状态概念.2一点的应力状态的表示方法(1)空间应力状态:9个分量6个独立.(2)平面应力状态:4个分量3个独立.(3)单向应力状态:1个分量.一点的应力状态:一个点各个方向面上的应力情况面的概念:过一点哪个方向面上的的应力.点的概念:指明是哪点的应力σxσyσzτxyτxzτyxτyzτzyτzxxyzσxσyτxyτyxxx二主平面和主应力主平面:单元体上无剪应力作用的方向面.主应力:主平面上的正应力.约定σ1≧σ2≧σ3主方向:主平面外法线方向.或平行于主应力的方向.三应力状态分类按主应力不为零个数划分为:简单应力状态:单向应力状态—1个主应力不为零.复杂应力状态:二向应力状态—2个主应力不为零.三向应力状态—3个主应力不为零.σ2σ3σ1§9-2二向和三向应力状态实例圆形薄壁容器(tD/20)其内压为p,筒底总压力pDtσ´p为二向应力状态σ=σ1σ´=σ2σσ´42DpPtPDDtDpAP442'tlNplDdplDN0sin212plDtl2tpD2'2pσσpyxσσdφφl§9-3二向应力状态分析—解析法1斜截面上的应力ασxτxyσyτyxατyxσyσxτxyσαταntΣN=0,σαdA+τxydAcosαsinα-σxdAcosαcosα+τyxdAsinαcosα-σydAsinαsinα=0ΣT=0,ταdA-τxydAcosαcosα-σxdAcosαsinα+τyxdAsinαsinα+σydAsinαcosα=0σxσyτxyτyxααdAdAsinαdAcosα22sin2conxyyx2sin2cos22xyyxyx2主平面和主应力0dd00sin2cos202xyxtyxxytg220代入斜截面公式,求得主应力令3,22,122minmax{)2(2}xyyxyx取主方位角α0和α0+π/2直接判定法:把单元体对称分为四个象限,剪应力箭头所指交线象限内的主方位角对应的主应力为极大值,另一个为极小值.ττ´σcττ´σtττ´主方位角和主应力的对应关系的判定方法—直接判定法3极大极小剪应力及其所在平面02sin2cos211xtyx0dd取极大极小剪应力所在平面方位角α1和α1+π/222minmax)2(}xyyxxyyxtg221令代入斜截面公式,求得极大极小剪应力4讨论(1)(2)(3)22201401223,22,1)2(2xyyx极大值23,22,1max2211223223max31132xyyxtg221yxxytg220和2232,1yx§9.4二向应力状态分析—图解法1应力圆(莫尔圆)二式平方称为应力圆方程,也称为莫尔圆.其中σα,τα为变量.相加得2cos2sin2xyyx2sin2cos22xyyxyx22)2sin2cos2()2(xyyxyx22)2cos2sin2(xyyx2222)()2()2(xyyxyx)0,2(yx22)2(xyyx为圆心,半径的圆方程.2应力圆的画法(1)确定x平面及其应力大小所在位置D按比例量取OA=σx,AD=τxy,确定D点.(2)确定y平面及其应力大小所在位置D´按比例量取OB=σy,BD´=τyx,确定D´点.(3)确定圆心位置,画应力圆连接DD´交σ轴于C,以为CD半径画应力圆.σxσyτxyτyxστD(σxτxy)D´(σyτyx)CABOE(σατσ)F22yxOBOAOC2222)2()()(xyyxADCACD圆心座标半径σ1σ2τmax已知:σx=80MPa,σy=-40MPa,τxy=-60MPa,τyx=60MPa.求:(1)画出单元体;(2)主应力;(3)主方向.解:(1)画出单元体(2)解析法α0=22.50或者112.50,1220yxxytgσxσyτxyτyx13{{85.10485.64MPaMPa22)2(2xyyxyx}maxmin主单元体图示(3)图解法作应力圆图示量得σ1=105MPa,σ3=-65MPa,α0=22.50或者112.50σ1σ322.5˙112.5˙στD´(-4060)COD(80-60)σ1σ3§9.5三向应力状态一应力圆方程设斜面法线n的三个方向余弦为l,m,n且l2+m2+n2=1(1)ΣX=0,pxdA-σ1ldA=0ΣY=0,pydA–σ2mdA=0ΣZ=0,pzdA–σ3ndA=0px=σ1lpy=σ2mpz=σ3nσ2yσ1σ3xzxσ1σ2σ3yzpxpyPz又有p2=σn2+τn2σn=pxl+pym+pzn=σ1l2+σ2m2+σ3n2(2)总应力τn2=p2-σn2=σ12l2+σ22m2σ32n2-σn2(3)223222221222nmlppppzyxxσ1σ2σ3yzpxpyPztσ1σ2σ3yxzσnτnn))(()2()2(312122322232lnn))(()2()2(123222132213mnn应力圆方程))(()2()2(231322212221nnnD(σατα)σσ1σ2σ30ττ12τ13τ23作应力圆图示二应力圆1三个圆周交于一点,交点座标就是斜截面上的应力.2三个应力圆的区域(1)l2(σ1-σ2)(σ1-σ3)≧0第一个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(绿色).(2)m2(σ2-σ3)(σ2-σ1)≦0第二个应力圆方程半径小于和它同心的圆周(红色).(3)n2(σ3-σ1)(σ3-σ2)≧0第三个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(黄色).2322232)2()2(nn2132213)2()2(nn2212221)2()2(nn3最大最小正应力max3113223223221124主剪应力1max3minD(σατα)σσ1σ2σ30ττ12τ13τ23三个圆周围成的区域中任一点D表示任意斜截面上的应力.§9.6平面应变状态分析一平面应变状态分析ααyxx´y´在xoy座标下应变为εxεyγxy旋转α角度在x´oy´座标下应变为εα,2sin22cos22xyyxyx2sin22cos222xyyxyx2cos22sin22xyyx比较转轴公式比较斜截面应力公式2sin2cos22xyyxyx2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2cos2sin211yzzyzyIIII2sin2cos222xyyxyx2sin2cos221yzzyzyyIIIIII三套公式类似2cos2sin2xyyx二主应变和主应变方向主应变三应变的实测实测中γxy不易测定,可先测定三个选定方向的线应变计算联立解出εxεyγxy实测中常用的有直角应变花和等应变花60°60°60°ε60°ε120°ε0°xy45°45°ε0°ε45°ε90°εmaxεmin}=22)2()2(2xyyxyxyxxytg02112sin22cos221xyyxyx222sin22cos222xyyxyx332sin22cos223xyyxyx§9.7广义胡克定律1广义胡克定律σyσxσzτxyτxzτyxτyzτzyτzxτxyτyxτyzτzyτzxτxz形状改变+σxσyσzab棱边改变ΔaΔbcΔc棱边改变—线应变aaxbbyccz)]([1zyxzyxxEEEE)]([1zyxxE)]([1xzyyE)]([1yxzzE角度改变—剪应变以上六式称为广义胡克定律GxyxyGyzyzGzxzxτxyτyxτyzτzyτzxτxz形状改变)]([1zyxxE)]([1xzyyE)]([1yxzzEσ1σ3σ2σxσyτxyτyx3平面问题)(1yxxE)(1xyyEGxyxy{2主应变max3211)]([1E)]([11322E)]([12133E{或{)(1E)(1EG其中24体积应变变形前体积V=dxdydz变形后体积V1=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)dxdydz≈(1+ε1+ε2+ε3)dxdydzσ1σ2σ3dxdyε1dxdzε2dyε3dz单位体积改变称为体积应变3213211)1(VVVVVV3)21(3)()21(321321EE令)21(3EK--体积弹性模量3321m--平均应力Km简单应力状态比能三向应力状态比能σ1σ2σ32u§9.8复杂应力状态的变形比能)](2)[(21222133221232221332211Euσ1σ2σ3σmσmσmσ1-σmσ2-σmσ3-σm=+体积改变形状改变体积改变比能2)(6212)21(3232223212EEummmmmmmmmV2321133221232221)(621)](2)[(21EEuuuVf形状改变比能])()()[(61213232221Euf例导出各向同性线性材料常数E,G,μ之间的关系.解:纯剪切时σ1=τσ2=0σ3=-τ变形比能三向应力状态比能两式相等Gu22)](2)[(21133221232221EuEE)1()00(20(212222EGu)1(222)1(2EGττ´7.10强度理论概述一材料的破坏形式(1)塑性屈服(2)脆性断裂如:拉伸低碳钢,压缩铸铁.如:拉伸铸铁,扭转铸铁.二应力状态对材料破坏形式的影响(1)拉伸带切口的低碳钢发生脆性断裂的原因:切口尖端材料处于三向拉应力状态.(2)压缩加围压的大理石发生塑性屈服的原因:材料处于三向压应力状态.应力状态的改变会影响会影响同一种材料的破坏形式.σ1σ2=σ3σ3ppPσ3σ2σ1=σ2=p极限应力σu和τu是直接由实验测得,而建立的强度条件.不考虑材料破坏的原因.(1)提出假说例如:常用的四个强度理论就基于如下假说a材料的某一破坏是由某一特定因素引起的.b无论是简单应力状态还是复杂应力状态下,某种类型的破坏是由同一因素引起的.于是可以用简单应力状态下的结果建立复杂应力状态下的强度条件.(2)建立强度准则(3)实践检验nu][nu