第四章――截面的几何性质

第四章平面图形的几何性质1面积矩与形心位置2惯性矩、惯性积、极惯性矩3惯性矩和惯性积的平行移轴定理截面的几何性质4惯性矩和惯性积的转轴定理*截面的主惯性轴和主惯性矩1静矩和形心一、静矩：(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。PnPnWMGIMANmaxmaxmaxmax;;yASxddxASyddAAyyAAxxAxSSAySSdddddAxyyx二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。))(:正负面积法公式累加式AAyyAAxxiiiiiixiiyyAyASxAxASdAxyyx等厚均质mmyymmxxmmdd质心：ASAAytAtAytASAAxtAtAxtxAAyAAdddd等于形心坐标xy212121AAAxAxAAxxii3.2010801101011010357.341080110101101060y例1试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)801201010xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)3.201107080120)11070(5图(b)C1（0,0）C2（5,5）212121AAAxAxAAxxiiC2负面积C1xy2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：(与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离的平方之积。AyAxAxIAyIdd22dAxyyx二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。yxAIIAId2dAxyyx三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。AxyAxyId如果x或y是对称轴，则Ixy=03惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）CCybyxax以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图0CxCyASAbbSIAbbyyAbyAyIxCxCCACACAx222222d)2(d)(dAbIIxCx2dAxyyxabCxCyC注意:C点必须为形心AbIIxCx2AaIIyCy2abAIIxCyCxyAbaIIC2)(例2求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyOxyxIIIdI2324圆4惯性矩和惯性积的转轴定理*截面的主惯性轴和主惯性矩cossinsincos11yxyyxx一、惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxx1y1x1y12sin2cos221xyyxyxxIIIIII2sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIIIyxyxIIII11二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到=0时；恰好有0)2cos2sin2(0000xyyxyxIIII与0对应的旋转轴x0y0称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。yCxCxCyCIII22tg022)2(200xyyxyxyxIIIIIII主惯性矩：2.形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩yCxCyCxCIII22tg022)2(200xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII形心主惯性矩：3.求截面形心主惯性矩的方法①建立坐标系②计算面积和面积矩③求形心位置④建立形心坐标系；求：IyC，IxC，IxCyC⑤求形心主轴方向—0⑥求形心主惯性矩AAyASyAAxASxiixiiy22)2(200xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0例3在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：①建立坐标系如图。②求形心位置。③建立形心坐标系；求：IyC，IxC，IxCydddddAAyyAAAxxiiii177.0434200222db2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1])5.0([212ydAIyAIIIIxxxCxCxC圆圆矩矩圆矩4224223685.0])177.05.0(464[)177.0(312)2(5.1ddddddddd443513.064122)5.1(ddddIIIxCxCyC圆矩便是形心主惯性矩轴便是形心主轴yCxCCxCyCIIyxI、C0