第11讲-页码与数字问题---奥数-学而思-超常班

2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳第十一讲页码与数字问题这一讲的标题是从形式上定义的，其实本讲侧重的是奥数中七大重点模块中计数问题，和数论模块中的位值原理。一、枚举计数分类枚举一定要选恰当的顺序和分类的标准才能不重不漏。本讲的例1侧重的是分类枚举，是对加法原理的渗透。补充小题：一本书共250页，求编码时需要多少个数码？分析与答：由于本书的页码有一位数、两位数、三位数；而几位数就需要几个数码。故须分类计数，再相加。一位数：有9个，共需9×1=9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有250-99=151个，共需151×3=453个数码；共需9+180+453=642个数码。【记住规律：一位数：1~9，有9个；两位数：10~99，有99-10+1=90个，或99-9=90；三位数：100~999，有999-100+1=900个，或999-99=900个；四位数：9000个；……】例1：给一本书编码，一共用了723个数字，这本书一共用多少页？分析与答：刚才例子是正着问，此题倒着问。边尝试边计算：一位数：有9个，共计用去9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有900个，共需900×3=2700个数码；而此题只有723个数码，多于9+180，小于9+180+2700，说明数的页数是三位数。一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩723-189=534个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有534÷3=178个三位数，第178个三位数是99+178=277，故本书有277页。学案1：一本书的页码，在印刷时必须用198个铅字，自这一本书的页码中数字1出现多少次？分析与答：此题是在例1的基础上再加深一步。要想求1出现的次数，必须知道本书有多少页，这就完全转化成利1。一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩198-189=9个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳则还有9÷3=3个三位数，第3个三位数是102，故本书有102页。那么本题转化为：一本书有102页，问1出现多少次？即相当于问：1~102里1出现的次数。数少时可以按由小到大的顺序枚举，即便如此，也很少有孩子能一次想全。因此，为使计数不重不漏，我们一定要按照一定的顺序枚举。本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的：最多有3位数，因此，1如果出现一定是在个位、十位、或百位。所以我们把个、十、百位的1分类计数，然后再相加。个位1：1,11,21,31，……，101。有11个；十位1：10，11,12，……，19。。有10个；百位1：100,101,102。有3个。1出现24次。例1改编：给一本书编码，一共用了723个数字，这本书1出现多少次？分析与答：同例1，先求出本书有277页。相当于问1~277里1出现几次。个位1：上题中数较少我们虽分类枚举，但每一类，还是一一数出来。个位1还可这样来求，每连续10个数，在个位出现一次1，277÷10=27……7。10个一组分成27组还余下7个数。【（1~10）（11~20）（21~30）……（261~270）余下271~277。】每组中有1个个位1,27组共27个，余下数字中271也有一个。故个位1共有27+1=28个；十位1：10~19,110~119,210~219，共3×10=30个；百位1：100~199，共100个。共28+30+100=158个。二、计数和数论的综合题例2：（1）1~3998这些自然数中，有多少个能被4整除？分析与答：【最简单的方法是找规律，除以几，余数就有几种可能，如除以4，余数可能0~3，共四中，连续自然数（或等差数列）除以同一个数余数肯定成周期，周期为除数】123456789……除以4余数123012301……周期为4,3998÷4=999……2，余下的2个为1和2，因此能被4整除的共999个。注意：在这个范围内被4整除的和除以4余3的有999个；除以4余1的和除以4余2的都有999+1=1000个。改编小题：1234~3998这些自然数中，有多少个能被4整除？分析与答：1234~3998共有3998-1234+1=2765个数。123412351236123712381239124012411242……除以4余数230123012……周期为4,2765÷4=691……1，余下的一个是2，因此能被4整除的有691个。注意：在这个范围内被4整除的、除以4余3以及除以4余1的有691个；除以4余2的都有691+1=692个。2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳例2：（2）1~3998这些自然数中，有多少个各位数字和能被4整除？分析与答：一个数除以N，余数可能为0~N-1，共计N种情况。一个数除以4，余数可能为0~3，共计4种情况。那假设现在有0~3这四个备选数字。现在任给一个数字，如果各位数字和不能被4整除，那就从0~3里选一个凑成4的倍数。除以4余数例如补几？04，543，826，……011，135，454，……322，1234，567，……233，678，250，……1我们发现，当一个数确定时，它各位数字和就确定了，那么各位数字和除以4的余数就确定了，这时的补法是唯一的。在做这道题目之前先做一个改动，就是把数的范围暂时先改成0~3999。并且所有的数字都补成四位数，如0看做0000,7看做0007,250看做0250……我们把所有的数字做一个整理，00001000200030000001100120013001000210022002300200031003200330030004100420043004……………………09981998299839980999199929993999发现共四列，每列有1000个数，这四列的共同特点是每行末三位相同。而首为恰好分别是0、1、2、3各一个。这样我们就可以用上刚才发现的规律了：当一个数末三位确定时，它末三位数字和就确定了，那么末三位数字和除以4的余数就确定了，这时的首位是唯一的。具体说来，如：末三位是000的有4个，但只有0000的各位数字之和是4的倍数；末三位是001的有4个，但只有3001的各位数字之和是4的倍数；末三位是002的有4个，但只有2002的各位数字之和是4的倍数；末三位是003的有4个，但只有1003的各位数字之和是4的倍数；末三位是004的有4个，但只有0004的各位数字之和是4的倍数；末三位是005的有4个，但只有3005的各位数字之和是4的倍数；……末三位是998的有4个，但只有2998的各位数字之和是4的倍数；末三位是999的有4个，但只有1999的各位数字之和是4的倍数；即每行产生一个4的倍数，共100个数各位数字之和能被4整除。三、计数问题中的乘法原理2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳加乘原理和排列组合是计数中很重要的基础原理，这将是我们四年级计数版块学习的一个重点。但本讲例8对乘法原理有所涉及。加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。乘法原理：一般的，完成一个任务有N步，第一步有A种做法，第二步有B种做法，第三步有C种做法，……那么完成这个任务共有A×B×C×……种方法。补充例1：从北京到天津有3种路线，从天津到大连有4种路线，那么从北京经过天津再去大连共有几种路线。分析与答：完成任务分两步，第一步从北京到天津，第二步从天津到大连，分步用乘法原理，3×4=12补充例2：1~7中选4个不同数字，组成四位数，共有多少个？分析与答：组成四位数，需要一位一位的确定各个位上的数字，分四步。第一步：1~7中选一个数字放到千位，共7种；第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到百位，共6种；第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到十位，共5种；第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到个位，共4种；分步用乘法：7×6×5×4=840种。特殊元素优先排列，特殊位置优先考虑。补充例3：1~7中选4个不同数字，组成四位奇数，共有多少个？分析与答：特殊位置优先考虑奇数，末位特殊，1,3,5,7共4中选择。第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到千位，共6种；第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到百位，共5种；第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到十位，共4种；分步用乘法：4×6×5×4=480种。例8：有一种用六位数表示日期的方法，如990817表示的是1999年8月17日，也就是从左到右一二位表示年，三四位表示月，五六位表示日。用这种方法表示1991年所有日期，全年中都不相同的日期共有多少天？分析与答：前两位确定为91，即91ABCD91ABCD91ABCD91ABCD特殊位置优先考虑：A表示月的首位，可以是0或1，1已经用过，只能为0；C表示日得首位，可以是0、1、2、3，但0和1用过，只能2或3，再进一步，3也不行，因为如果C=3，CD只能是30和31，而0,1已经用过了，所以C不能取3，C只能为2。91ABCD91ABCD91ABCD91ABCD转化成910B2D910B2D910B2D910B2D0~9共十个数字，已经用去了9、1、2、0这四个，还剩下6个，题目转化为：把6个不同数字排在B、D两个位置上，（B、D不同）有几种排法？分两步，乘法，共6×5=30种。2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳四、数论中位值原理的应用位值原理是方程工具（代数思想）的一个体现，是将来学习进位制的基础。如：1234=1000+200+30+4=1×1000+2×100+3×10+4×11在千这个位置上，它代表的数值是1个1000；2在百这个位置上，它代表的数值是2个100；3在十这个位置上，它代表的数值是3个10；4在个这个位置上，它代表的数值是4个1；位值原理体现的是一种位置和数值的对应关系。位值原理的两种展开方式：（1）全部展开：如：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1（2）分析题意，根据需要灵活展开：如：1234=12×100+34×1；12345=12×1000+345×1；12345=123×100+45×1；12345=12×1000+34×10+5×1；下面看一下我们现在涉及到的两种类型的题目：（一）全部展开：用位值原理列方程时一定要注意两点：其一，首位不为0；其二，各位数字都是0~9范围内的整数。例5：在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么，所得的三位数是原数的6倍。求这个两位数。分析与答：设原来的两位数是ab，那么新的三位数就是0ab，新数是原数的6倍，得到方程：0ab=6×ab（a,b均为整数；0＜a≤9；0≤b≤9）根据位值原理：ab=10a+b；0ab=100a+b；则100a+b=6（10a+b）100a+b=60a+6b40a=5b8a=b（0＜a≤9；0≤b≤9）a=1,b=8原数为18。超常123班学案4：有一个三位数，个位数字是百位的2倍，百位数字与个位数字之和等于十位数字，若百位数字与个位数字对换，新数比原数大198，求原数。2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳分析与答：只看这一个条件：若百位数字与个位数字对换，新数比原数大198。设原数为abc，则新数为cba，原数+198=新数【建议用加法算式列方程，减法方程去括号那步孩子们易出错。】abc+198=cba100a+10b+c+198=100c+10b+a198=99c-99ac-a=2又，个位数字是百位的2倍，即c=2a，差倍问题，c=4,a=2又，百位数字与个位数字之和等于十位数字，b=a+c=6原数为264（二）分析题意，根据需要灵活展开：例6：一个三位数，个位数字是3，如果把原个位数字当百位数字，原十位数字当个位数字，原百位数字当成十位数字，那么新数比原数小171，求原数。分析与答：设原数为3ab，则新数为3ab，（a,b均为整数；0＜a≤9；0≤b≤9）新数比原数小171，即：3ab+171=3ab（新数+171=原数）【建议用加法算式列方程，减法方程去括号那步孩子们易出错。】可以按刚才思路展开，但仔细分析后就会