高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析

新课标人教A高中数学选修2-2同步练习第1页共27页选修2-2知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是000()()limxfxxfxx，我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，即0()fx=000()()limxfxxfxx2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx，当点nP趋近于P时，函数()yfx在0xx处的导数就是切线PT的斜率k，即0000()()lim()nxnfxfxkfxxx3.导函数：当x变化时，()fx便是x的一个函数，我们称它为()fx的导函数.()yfx的导函数有时也记作y,即0()()()limxfxxfxfxx二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()fxc(c为常数)，则()0fx；2若()fxx,则1()fxx;3若()sinfxx,则()cosfxx4若()cosfxx,则()sinfxx;5若()xfxa,则()lnxfxaa6若()xfxe,则()xfxe7若()logxafx,则1()lnfxxa8若()lnfxx,则1()fxx导数的运算法则1.[()()]()()fxgxfxgx2.[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx3.2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx复合函数求导()yfu和()ugx,称则y可以表示成为x的函数,即(())yfgx为一个复合函数(())()yfgxgx三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)ab内新课标人教A高中数学选修2-2同步练习第2页共27页(1)如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递增；(2)如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()yfx的极值的方法是:（1）如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极大值（2）如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极小值;4.函数的最大(小)值与导数求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()yfx在(,)ab内的极值；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法1.它是一个递推的数学论证方法.2.步骤:A.命题在n=1（或0n）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立；C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n=0n,且nN)结论都成立。考点三证明1.反证法:2、分析法:3、综合法:数系的扩充和复数的概念复数的概念(1)复数:形如(,)abiaRbR的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.(2)分类:复数(,)abiaRbR中,当0b,就是实数;0b,叫做虚数;当0,0ab时,叫做纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。新课标人教A高中数学选修2-2同步练习第3页共27页(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,(,,,)zabizcdiabcdR则（1）12()()zzacbdi（2）12()()zzacbdadbci（3）12222()()(0)zacbdadbcizzcd2,几个重要的结论(1)2222121212||||2(||||)zzzzzz(2)22||||zzzz(3)若z为虚数,则22||zz3.运算律(1)mnmnzzz;(2)()mnmnzz;(3)1212()(,)nnnzzzzmnR4.关于虚数单位i的一些固定结论：（1）21i（2）3ii（3）41i（2）2340nnnniiii练习一组一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx()A．大于零B．小于零C．等于零D．不等于零[答案]D[解析]Δx可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)[答案]D[解析]由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为()A．3B．0.29C．2.09D．2.9[答案]D[解析]f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f(－0.9)－f(－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D.新课标人教A高中数学选修2-2同步练习第4页共27页4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为()A．2B．2.3C．2.09D．2.1[答案]B[解析]f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.∴kAB＝f(1.3)－f(1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B.5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为()A．2－ΔxB．－2－ΔxC．2＋ΔxD．(Δx)2－2·Δx[答案]B[解析]∵f(2)＝－22＋2×2＝0，∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)＝－2Δx－(Δx)2，∴f(2＋Δx)－f(2)2＋Δx－2＝－2－Δx，故应选B.6．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2[答案]C[解析]ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝[(1＋Δx)2＋1]－2Δx＝2＋Δx.故应选C.7．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A．6.3B．36.3C．3.3D．9.3[答案]A[解析]S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速度v＝S(3.3)－S(3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故应选A.8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③新课标人教A高中数学选修2-2同步练习第5页共27页C．②D．①[答案]B[解析]Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均变化率k4＝－11＋Δx＝－1013.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是()A．v0B.Δts(t0＋Δt)－s(t0)C.s(t0＋Δt)－s(t0)ΔtD.s(t)t[答案]C[解析]由平均变化率的概念知C正确，故应选C.10．已知曲线y＝14x2和这条曲线上的一点P1，14，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()A.1＋Δx，14(Δx)2B.Δx，14(Δx)2C.1＋Δx，14(Δx＋1)2D.Δx，14(1＋Δx)2[答案]C[解析]点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝14(Δx＋1)2，故应选C.二、填空题11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，ΔyΔx＝________.[答案](Δx)2＋6Δx＋12[解析]ΔyΔx＝(2＋Δx)3－2－(23－2)Δx＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12ΔxΔx＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．在x＝2附近，Δx＝14时，函数y＝1x的平均变化率为________．[答案]－29新课标人教A高中数学选修2-2同步练习第6页共27页[解析]ΔyΔx＝12＋Δx－12Δx＝－14＋2Δx＝－29.13．函数y＝x在x＝1附近，当Δx＝12时的平均变化率为________．[答案]6－2[解析]ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1＝6－2.14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．[答案]54.1[解析]当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝ΔyΔx＝(2＋Δx)2－1－22＋1Δx＝(2＋1)2－221＝5.当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝ΔyΔx＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.三、解答题15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．[解析]函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为f(－1)－f(－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2.函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为f(5)－f(0)5－0＝2.函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为g(－1)－g(－3)－1－(－3)＝－2.函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为g(5)－g(0)5－0＝－2.16．过曲线f(x)＝2x2的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx＝14时割线的斜率．[解析]割线AB的斜率k＝(2＋Δy)－2(1＋Δx)－1＝ΔyΔx新课标人教A高中数学选修2-2同步练习第7页共27页＝2(1＋Δx)2－2Δx＝－2(Δx＋2)(1＋Δx)2＝－7225.17．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？[解析]在x＝2附近的平均变化率为k1＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f(3＋Δx)－f(3)Δx＝(3＋Δx)2－32Δx＝6＋Δx.对任意Δx有，k1＜