第09讲-盈亏问题---奥数-学而思-超常班

2011春季班三年级超常班                                                    学而思  侯晓琳  第九讲    盈亏问题 盈亏问题是应用题模块的一个重点和难点之一，解决它有两大类思路，算数方法和方程方法。相对来说，方程法更直观，学习方程工具后希望用方程把这里的题目再重新做一遍。本讲只讲算数解法。  一、基本型盈亏问题 基本概念：一定量的物体，按照某种标准进行分组，最后会产生一种结果；按照另一种标准进行分组，又会产生另一种结果。 基本特点：两个未知：总份数，总数。           两个一定：总份数不变，总数不变。 基本思路： 比较法：（1）总份数=总差÷每份差                       （2）再代到任一条件求总数。 基本题型： 盈盈型：总份数=（较大余数‐较小余数）÷每份差； 亏亏型：总份数=（较大不足数‐较小不足数）÷每份差； 盈亏型：总份数=（余数+不足数）÷每份差。  如：小朋友分苹果，每人4本多10个；每人6本少8个，问多少人多少苹果？ 两个未知：人为份数，苹果为总数； 两个一定：人数不变，苹果数不变。 （1）人数=（10+8）÷（6‐4）=9 （2）苹果数=4×9+10=46（或6×9‐8=46）  我们遇到的题目一定首先分清什么是份数，什么是总数，可以套一下人分苹果模型，人为份数，苹果为总数。 有变化的盈亏问题先把它转化成基本型盈亏。  例1：（2008春蕾杯小学数学邀请赛决赛）A、B买了相同张数的信纸。A在每个信封里装1张信纸，最后用完所有信封还剩40张信纸；B在每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封。他们都买了多少张信纸？ 分析与答：信封为份数，信纸为总数。 每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封，相当于如果把所有的信封用完还差3×40=120张信纸。 即：每个信封里装1张信纸，还剩40张信纸； 每个信封里装3张信纸，120张信纸。 信封数=（40+120）÷（3‐1）=80 信纸数=80×1+40=120 注：很多同学的错误解法是 信封数=（40+40）÷（3‐1）=40一定注意第二个条件要把份数转化成总数再做题目。  超常123学案一：用绳子测游泳池水深，绳子两折时，多余60厘米；绳子2011春季班三年级超常班                                                    学而思  侯晓琳  三折时，还差40厘米，求绳子长和水深。 分析与答：水深为份数，绳长为总数。 注意两折时，实际上是绳长多60×2=120厘米 三折时，        绳长少40×3=120厘米 水深：（120+120）÷（3‐2）=240厘米 绳长：2×240+120=600厘米  二、份数变化型盈亏问题 基本型盈亏解决的是份数不变的题目，当份数变化时一定把它转化成对应的人数不变的情形。  例2：（2010走美）春节前夕，一个富翁向该帮帮众施舍一笔钱财。一开始他准备给每人100元，结果剩下350元，他决定每人多给20元。这时从其他地方闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其他乞丐一样多，富翁还需要再增加550元，原有多少名乞丐？ 分析与答：乞丐分钱，乞丐为份数，钱为总数。 人数增加5人，每人120元差550元，相当于人数不增加，每人120元，余下120×5‐550=50元 即：每人100元，余350元； 每人120元，余50元 人数：（350‐50）÷（120‐100）=15  超常123学案4：发奖金，如果每人发90元，余下900元；如果人数增加到2倍，奖金少了1800元。问多少人？多少奖金？ 分析与答：人分奖金，人为份数，钱为总数。 如果人数增加到2倍，每人90元，相当于人数不变每人180元。 如果每人发90元，余下900元； 如果每人180元，少了1800元。 人数：（900+1800）÷（180‐90）=30人 奖金：30×90+900=3600元  附：练习：人分球，每人5个多10个，人数增加到3倍，每人2个少8个，问多少人多少球？（18人，100个球）  三、盈亏问题在行程问题当中的应用：  例3：小华从家到学校，他先用每分钟50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，他就要迟到8分钟；如果改用每分钟60米，会早到5分钟，求家到学校的距离。 分析与答：时间为份数，路程为总数。 2011春季班三年级超常班                                                    学而思  侯晓琳    先不看开始每分钟50米的速度走了2分钟，即50×2=100米 分析CB段： 每分钟走50米，迟到8分钟，走到规定时间，还差50×8=400米没走到（即走到D，路程比他走的多400米）； 每分钟走60米，早到5分钟，走到规定时间，还能多走60×5=300米（即走到E，路程比他走的少300米）。 计划时间：（400+300）÷（60‐50）=70分钟 CB路程：50×70+400=3900米 家到学校距离AB：3900+100=4000米。  四、分组标准不统一的盈亏问题： 基本型盈亏解决的是分类标准统一的题目，当分类标准不统一时一定把它转化成对应的分类标准统一的情形。统一的标准一般是“其余”  超常123学案3：少先队去植树，每人挖5个坑，还有三个没人挖；如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。有多少人，多少坑？ 分析与答：人为份数，坑为总数。 如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。相当于每人挖6个差（4‐2）×2=4个坑。 即：每人挖5个坑，多3个； 每人挖6个坑，差4个。 人数：（3+4）÷（6‐5）=7人 坑总数：7×5+3=38个 注：如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。分类标准不统一，有人挖4个。也有人挖6个。统一成与“其余”一样，每人挖6个差（4‐2）×2=4个坑。  例4：同学搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人各搬5块，这样最后剩下148块；如果有30人每人搬8块，有8人每人搬9块，其余每人搬10块，这样最后还剩下20块。问有多少学生多少砖？ 分析与答：人数为份数，转数为总数。 有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人各搬5块，这样最后剩下148块。分类标准不统一，统一标准找其余每人各搬5块。即所有人都搬5块，那么搬7块的人每人能剩下7‐5=2块，12人可剩下12×2=24块；有20人每人各搬6块，可剩下20×（6‐5）=20块，这时共剩下24+20+148=192块。本条件转化为：如果每人各搬5块，则剩下12×（7‐5）+20×（6‐5）+148=192块。 如果有30人每人搬8块，有8人每人搬9块，其余每人搬10块，这样最后2011春季班三年级超常班                                                    学而思  侯晓琳  还剩下20块。分类标准不统一，统一标准找其余每人各搬10块。即所有人都搬10块，那么搬8块得每人差10‐8=2块，30人差2×30=60块；那么搬9块得每人差10‐9=1块，8人差1×8=8块，这时共差60+8‐20=48块。本条件转化为：如果每人各搬10块，差（10‐8）×30+（9‐8）×8‐20=48块。 如果每人各搬5块，剩192块； 如果每人各搬10块，差48块。 人数：（192+48）÷（10‐5）=48人 砖数：48×10‐48=432块  五、份数为多种事物的盈亏问题： 基本型盈亏解决的是份数是同一种事物的题目，当份数不是同一种事物时一定把它转化成对应的份数是同一种事物的情形。转化条件找题目中描述两种事物对应关系的关键条件。  超常学案4：（走美真题）幼儿园老师把一袋糖果分给小朋友，如果分给大班的小朋友，每人5粒缺6粒；人过分给小班的小朋友，每人4粒余4粒。已知大班比小班少2个小朋友，这袋糖果共有多少粒？ 分析与答：人数为份数，糖果数为总数。 分大班：每人5粒缺6粒； 分小班：每人4粒余4粒。 份数不是同一种，即大班小班人数不一样，要先转化成同一个班，转化依据是“大班比小班少2个小朋友”， 方法一：把小班转化成大班：分小班：每人4粒余4粒，转化成分大班：每人4粒余4×2+4=12粒。 即：分小班：每人5粒，缺6粒；每人4粒余12粒。 大班人数：（12+6）÷（5‐4）=18人 糖果总数5×18‐6=84粒 方法二：当然本题也可以把分大班：每人5粒缺6粒的条件转化成分小班：每人5粒缺5×2+6=16粒，希望孩子们自己试试。  例5（2010年迎春杯四年级初赛）小红去买水果，如果买5千克苹果则少4元，如果买6千克梨则少3元，已知苹果比梨每500克贵5角5分，问小红带了多少钱？ 分析与答：苹果和梨的单价为份数，总钱数为总数。 买苹果：买5千克少4元； 买梨：买6千克少3元。 份数为两种事物：苹果和梨，因此要转化为同一种，转化依据是“苹果比梨每500克贵5角5分”即：苹果比梨每千克贵1.1元。 方法一：把梨转化为苹果：买梨：买6千克少3元，用这些钱去买苹果，买6千克应该少1.1×6+3=9.6元。 买苹果：买5千克少4元； 买6千克少9.6元。 苹果单价为（9.6‐4）÷（6‐5）=5.6元每千克 总钱数：5.6×5‐4=24元。 2011春季班三年级超常班                                                    学而思  侯晓琳  方法二：把苹果转化成梨：买苹果：买5千克少4元，用这些钱去买梨，买5千克应多1.1×5‐4=1.5元， 买梨：买5千克多1.5元； 买6千克少3元。 梨的单价：（1.5+3）÷（6‐5）=4.5元每千克 总钱数：4.5×6‐3=24元  六、同时分配多种事物的盈亏问题： 基本型盈亏解决的是分配同一种事物的题目，当同时分配的事物不只一种时，把其中某一种的分配数量调整相同，再比较数量不同的那一种。   例6（全国奥赛竞赛试题）苹果和梨各有若干个，如果每5个苹果和3个梨装一袋，还多4个苹果，梨正好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12个。苹果和梨各多少个？ 分析与答：同时分配两种事物：苹果和梨； 每袋：5个苹果+3个梨，还多4个苹果；       7个苹果+3个梨，还多12个梨。 盈亏问题的核心思路是比较法：两种分法梨数量相同无法比较，所以应比较苹果数量，每袋7个苹果+3个梨，还多12个梨，如果把全部梨分完还需要12÷4×7=28个苹果， 每袋：5个苹果+3个梨，还多4个苹果；       7个苹果+3个梨，还差28个苹果。 袋数为份数，苹果数为总量。 袋数：（28+4）÷（7‐5）=16袋 梨数：16×3=48个 苹果数：16×5+4=84个。  补充题（南京兴趣杯竞赛试题）有若干苹果和梨，如果1个苹果和3个梨放一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，如果按半个苹果配两个梨一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，苹果和梨各多少个？ 分析与答：如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨； 如果0.5个苹果和2个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。 与上道题的不同之处在于苹果和梨的数量都不相同，选择把苹果的数量统一成一个（也可把梨的数量统一成6个，但是两个条件都要变，麻烦）即：如果1个苹果和4个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。 如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨； 如果1个苹果和4个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。这时苹果数相同，梨数不同，比较梨数，梨分完时还剩0.5个苹果，把这0.5个苹果分完，还差0.5×2个梨。原题转化为： 如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨； 如果1个苹果和4个梨一堆，还差2个梨。  堆数为份数，梨为总数。 共（2+2）÷（4‐3）=4堆，即4个苹果 梨数：4×3+2=14个 2011春季班三年级超常班