93中值定理

上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理§3.1中值定理上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology一、罗尔定理设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等提问：f(x)=?•观察与思考提示：f(x)=0上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology罗尔定理如果函数y=f(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且有f(a)=f(b)那么至少存在一点x(ab)使得f(x)=0简要证明(1)若f(x)是常函数则f(x)0定理的结论显然是成立的上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology(2)若f(x)不是常函数则f(x)在(ab)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点x(ab)于是因此必有f(x)=0简要证明罗尔定理如果函数y=f(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且有f(a)=f(b)那么至少存在一点x(ab)使得f(x)=00)()(lim)()(==xxxxxxfxfffx0)()(lim)()(==xxxxxxfxfffx0)()(lim)()(==xxxxxxfxfffx0)()(lim)()(==xxxxxxfxfffx上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology应注意的问题：如果定理的三个条件有一个不满足则定理的结论有可能不成立罗尔定理如果函数y=f(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且有f(a)=f(b)那么至少存在一点x(ab)使得f(x)=0上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology点击图片任意处播放\暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:ab1x2xxyo)(xfy=水平的.在该点处的切线是点C,一在曲线弧AB上至少有C上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例1不求导数判断函数f(x)=(x1)(x3)(x3)的导数有几个实根以及其所在范围解f(-3)=f(-1)=f(3)=0f(x)在[-3-1][-13]上满足罗尔定理的三个条件在(-3-1)内至少存在一点x1使f(x1)=0x1是f(x)的一个实根在(-13)内至少存在一点x2使f(x2)=0x2也是f(x)的一个实根f(x)是二次多项式只能有两个实根分别在区间(-3-1)及(-13)内上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例2.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程=xx证1,5xxf(x)设5=连续,f(x)在[0,1]则3.f(1)1,f(0)且==由介值定理0.)f(x使(0,1),x00=即为方程的小于1的正实根.,xx(0,1),x设另有0110.)f(x使1=件,之间满足罗尔定理的条x,x在f(x)10使得之间),x,x(在ξ至少存在一个100.(ξ)f=1)5(x(x)f但4=(0,1))(x0,矛盾,为唯一实根.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology二、拉格朗日中值定理•观察与思考设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等提问：直线AB的斜率k=?f(x)=?提示：=kabafbf)()(直线AB的斜率f(x)=abafbf)()(上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导那么在(ab)内至少有一点x使得f(b)f(a)=f(x)(ba)拉格朗日中值定理k=abafbf)()(直线AB的斜率f(x)=abafbf)()(上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology则函数j(x)在区间[ab]上满足罗尔定理的条件于是至少存在一点x(ab)使j(x)=0即简要证明由此得f(b)f(a)=f(x)(ba)(aaff)(=j)x令(x()abafbf)()(x)如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导那么在(ab)内至少有一点x使得f(b)f(a)=f(x)(ba)拉格朗日中值定理j(x)=f(x)abafbf)()(上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyf(b)f(a)=f(x)(ba)f(xDx)f(x)=f(xqDx)Dx(0q1)Dy=f(xqDx)Dx(0q1)•拉格朗日中值公式如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导那么在(ab)内至少有一点x使得f(b)f(a)=f(x)(ba)拉格朗日中值定理注：dy=f(x)Dx是函数增量Dy的近似表达式f(xqDx)Dx是函数增量Dy的精确表达式上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyf(b)f(a)=f(x)(ba)f(xDx)f(x)=f(xqDx)Dx(0q1)Dy=f(xqDx)Dx(0q1)•拉格朗日中值公式如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导那么在(ab)内至少有一点x使得f(b)f(a)=f(x)(ba)拉格朗日中值定理定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零那么f(x)在区间I上是一个常数上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例31).x1(2πarccosxarcsinx证明=证1,1][xarccosx,arcsinxf(x)设=)x11(x11(x)f22=0.=1,1][xC,f(x)arccos0arcsin0f(0)又=2π0=,2π=.2πC即=.2πarccosxarcsinx=上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology证明:设f(x)=xn则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导例4设ab0n1证明nbn1(ab)anbnnan1(ab)由拉格朗日中值定理存在x(ba)使f(a)f(b)=f(x)(ab)即anbn=nxn1(a-b).因为nbn1(a-b)nxn1(a-b)nan1(a-b)所以nbn1(a-b)anbnnan1(a-b).上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology三、柯西中值定理柯西中值定理函数f(x)及F(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且F(x)在(ab)内恒不为零那么在(ab)内至少有一点x使得显然如果取F(x)=x那么F(b)F(a)=baF(x)=1因而柯西中值公式就可以写成f(b)f(a)=f(x)(ba)(axb)这样就变成了拉格朗日中值公式了———柯西中值公式)()()()()()(xxFfaFbFafbf=上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology•定理的几何意义弦AB的斜率为)()()()(aFbFafbf三、柯西中值定理柯西中值定理函数f(x)及F(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且F(x)在(ab)内恒不为零那么在(ab)内至少有一点x使得)()()()()()(xxFfaFbFafbf=而在点x=x处)()(xxFfdXdY=上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology总结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF=)()()(bfaf=罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.